高中数学：指数函数和对数函数

一、指数和对数

（一）指数

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，aⁿ表示n个a连乘。当n=0时，aⁿ=1。

指数的运算法则：

1、a^m×aⁿ=a^(m＋n) 【同底数幂相乘,底数不变,指数相加】

2、a^m÷aⁿ=a^(m－n) 【同底数幂相除,底数不变,指数相减】

3、(a^m)ⁿ=a^(mn) 【幂的乘方,底数不变,指数相乘】

4、(ab)^m=a^m×a^m 【积的乘方,等于各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘】

（二）对数

如果a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=log_a^N。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

1.特别地，以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lgN。

2.称以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为lnN。

3.零没有对数。

4.在实数范围内，负数无对数。 [3]在虚数范围内，负数是有对数的。

对数的运算法则：

1、log_a^(M·N)=log_a^M+log_a^N

2、log_a ^(M÷N)=log_a^M-log_a^N

3、log_aMⁿ=nlog_a^M

4、log_ab*log_b^a=1

5、log_ab=log_c^b÷log_c^a

（三）指数和对数互换

一般的转换方法是同时取指数或对数。

a=ln^b，转换成指数形式，可以两边同取e的指数，得e^a=e^lnb=b。

e^a=b，转换成对数形式，可以两边同取对数，得ln_e^a=a=ln^b

aⁿ=b(a>0，且a≠1)，n=loga^b（a＞0，a≠1）。

二、指数函数和对数函数

在数学领域中，指数函数和对数函数作为两类重要的数学函数，扮演了不可忽视的角色。

指数函数以自然常数e为底，展现出指数增长或衰减的趋势；而对数函数是指数函数的反函数，将指数关系转化为线性关系。

1.指数函数

（1）指数函数的定义

一般地，函数y=a^x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，函数的定义域是 R 。

注意，在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

（2）指数函数的图象

底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

（3）指数函数的性质

①定义域：R.

②值域：（0，＋∞）.

③过点（0，1），即x=0时，y=1.

④当a＞1时，在R上是增函数；当0＜a＜1时，在R上是减函数.

当a>1时，随着x的增大，指数函数迅速增大，呈现指数增长的趋势。

当0<a<1时，随着x的增大，指数函数迅速减小，呈现指数衰减的趋势。

在函数中可以看到：

（1） 指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2） 指数函数的值域为(0， +∞)。

（3） 函数图形都是上凹的。

（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b ,则函数定过点(0,1+b))

（8） 指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数

（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数。

2. 对数函数

（1）对数函数的定义

函数y=log_a^x（a＞0，a≠1）叫做对数函数.

（2）对数函数的图象

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

（3）对数函数的性质:

①定义域：（0，+∞）.

②值域：R.

③过点（1，0），即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

定义域求解：对数函数y=log_a^x 的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，

如求函数y=log_x^（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

值域：实数集R，显然对数函数无界；

定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

对称性：无

最值：无

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：

底真同对数正，底真异对数负。

解释如下：

也就是说：若y=log_a^b （其中a>0，a≠1，b>0）

当0<a<1， 0<b<1时，y=log_a^b >0;

当a>1， b>1时，y=log_a^b >0;

当0<a<1， b>1时，y=log_a^b <0;

当a>1， 0<b<1时，y=log_a^b <0。