高等数学：拐点、驻点、极值点

一、定义

拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。

若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

拐点如下图：p(a,f(a))为拐点

设函数y=f(x)在点x₀ 的某邻域内连续，若(x₀,f(x₀))是曲线y=f(x)凹与凸的分界点，则称(x₀,f(x₀))为曲线y=f(x)的拐点。

注：拐点(x₀,f(x₀ ))是曲线上的一点

二、拐点存在条件

1.必要条件：

设函数f(x)在点x₀的某邻域内具有二阶连续导数，若(x₀,f(x₀))是曲线的拐点，则f(x₀)=0,但反之不成立。

2.第一充分条件:

直接根据拐点的定义，可以得到曲线存在拐点的第一充分条件。

设函数f(x)在点x₀的某邻域内具有二阶连续导数，若x₀的两侧f''(x) 异号，则( x₀ ,f(x₀))是曲线y=f(x)的一个拐点;若x₀ 的两侧f''(x) 同号，则(x₀ ,f(x₀))不是曲线的拐点。

第二充分条件:

设函数y=f(x)在点x₀处f''(x₀)=0 ，但f'''(x₀)≠0，那么存在x₀的一个邻域，在该邻域内f'''(x)>0或f'''(x)<0，根据函数单调性判定定理，则在该邻域内f''(x)单调递增或f''(x)单调递减，而f"(x₀)=0，故存在点x₀的一个邻域，在点x₀的两侧f"(x)异号，从而判定x₀为曲线y=f(x)的拐点的横坐标。根据以上分析，可以得到曲线存在拐点的第二充分条件。

若f''(x₀)= 0 ,且f'''(x₀)≠0 ≠ 0 ,则( x₀ , f ( x₀))是曲线y=f(x)的拐点。

除上述情况外，f(x)的二阶导数不存在的点也有可能是f'(x)的符号发生变化的分界点.

三、极值点、驻点、拐点和有什么不同

1. 定义不同

极值点：极大值和极小值统称为极值点。

驻点：函数的一阶导数为 0 的点叫做驻点（驻点也称稳定点、临界点）。

拐点：拐点又称反曲点，指改变曲线方向的点（既包括横坐标，又包括纵坐标）。

2. 性质不同

（1）驻点：一阶导数为 0，可能改变函数的单调性；

（2）拐点：函数的凹凸性可能改变。

3. 特征不同

（1）极值点不一定是驻点。如 y=|x|，该函数在 x=0 处不可导，所以不是驻点，但是极小值点；

（2）驻点也不一定是极值点。如 y=x³，在 x=0 处导数为 0，是驻点，但没有极值点；

（3）函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号或不存在；

（4）极值点和驻点和函数的一阶导数有关，拐点和函数的二阶导数和三阶导数有关。

拐点和极值是两个不同的概念。
在极值点的左右，函数的增减性不一样。

比如说在极值点的左方邻域内函数单调增加，则在极值点的右方邻域内函数单调减小。

在拐点的左右，函数的弯曲性不一样。
比如说在拐点左方邻域内上凸下凹，则在拐点右方邻域内下凸上凹。

极值点、驻点、拐点三者区别：

1.极值点：极大值和极小值统称为极值点。

极值点是函数的某段子区间内极大值或者极小值的横坐标。

极值点出现在函数的驻点（导数为0）或不可导点处（导函数不存在）。

极值点判断：

（1）若 f(x0) 处可导：

第一判别法：若 f(x₀)处的一阶导数，且 x₀ 左边的区间内导数>0，x₀ 右边的区间内导数<0，那么 x₀ 为极大值。

第二判别法：若 f(x₀) 存在二阶导数，且 f(x₀)处的一阶导数为0，二阶导数<0，则 x₀ 为极大值。

（2）若 f(x0) 处不可导：此时，需要用定义判断。

驻点：函数的一阶导数为 0 的点叫做驻点（驻点也称稳定点、临界点）。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为 0 的点。

拐点：拐点又称反曲点，指改变曲线方向的点（既包括横坐标，又包括纵坐标）。 直观的说，拐点是连续曲线凹弧和凸弧的分界点。

具体可以见下图：