高中数学：函数的拐点、驻点、极值点、最值点、端点、切点、零点
高中数学：函数的拐点、驻点、极值点、最值点、端点、切点、零点
一、定义
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
拐点如下图：p(a,f(a))为拐点
设函数y=f(x)在点x0 的某邻域内连续，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)凹与凸的分界点，则称(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点。
注：拐点(x0,f(x0 ))是曲线上的一点
二、拐点存在条件
1.必要条件：
设函数f(x)在点x0的某邻域内具有二阶连续导数，若(x0,f(x0))是曲线的拐点，则f(x0)=0,但反之不成立。
2.第一充分条件:
直接根据拐点的定义，可以得到曲线存在拐点的第一充分条件。
设函数f(x)在点x0的某邻域内具有二阶连续导数，若x0的两侧f''(x) 异号，则( x0 ,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点;若x0 的两侧f''(x) 同号，则(x0 ,f(x0))不是曲线的拐点。
第二充分条件:
设函数y=f(x)在点x0处f''(x0)=0 ，但f'''(x0)≠0，那么存在x0的一个邻域，在该邻域内f'''(x)>0或f'''(x)<0，根据函数单调性判定定理，则在该邻域内f''(x)单调递增或f''(x)单调递减，而f"(x0)=0，故存在点x0的一个邻域，在点x0的两侧f"(x)异号，从而判定x0为曲线y=f(x)的拐点的横坐标。根据以上分析，可以得到曲线存在拐点的第二充分条件。
若f''(x0)= 0 ,且f'''(x0)≠0 ≠ 0 ,则( x0 , f ( x0))是曲线y=f(x)的拐点。
除上述情况外，f(x)的二阶导数不存在的点也有可能是f'(x)的符号发生变化的分界点.
三、极值点、驻点、拐点和有什么不同
1. 定义不同
极值点：极大值和极小值统称为极值点。
驻点：函数的一阶导数为 0 的点叫做驻点（驻点也称稳定点、临界点）。
拐点：拐点又称反曲点，指改变曲线方向的点（既包括横坐标，又包括纵坐标）。
2. 性质不同
（1）驻点：一阶导数为 0，可能改变函数的单调性；
（2）拐点：函数的凹凸性可能改变。
3. 特征不同
（1）极值点不一定是驻点。如 y=|x|，该函数在 x=0 处不可导，所以不是驻点，但是极小值点；
（2）驻点也不一定是极值点。如 y=x3，在 x=0 处导数为 0，是驻点，但没有极值点；
（3）函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号或不存在；
（4）极值点和驻点和函数的一阶导数有关，拐点和函数的二阶导数和三阶导数有关。
拐点和极值是两个不同的概念。
在极值点的左右，函数的增减性不一样。
比如说在极值点的左方邻域内函数单调增加，则在极值点的右方邻域内函数单调减小。
在拐点的左右，函数的弯曲性不一样。
比如说在拐点左方邻域内上凸下凹，则在拐点右方邻域内下凸上凹。
极值点、驻点、拐点三者区别：
1.极值点：极大值和极小值统称为极值点。
极值点是函数的某段子区间内极大值或者极小值的横坐标。
极值点出现在函数的驻点（导数为0）或不可导点处（导函数不存在）。
极值点判断：
（1）若 f(x0) 处可导：
第一判别法：若 f(x0)处的一阶导数，且 x0 左边的区间内导数>0，x0 右边的区间内导数<0，那么 x0 为极大值。
第二判别法：若 f(x0) 存在二阶导数，且 f(x0)处的一阶导数为0，二阶导数<0，则 x0 为极大值。
（2）若 f(x0) 处不可导：此时，需要用定义判断。
驻点：函数的一阶导数为 0 的点叫做驻点（驻点也称稳定点、临界点）。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为 0 的点。
拐点：拐点又称反曲点，指改变曲线方向的点（既包括横坐标，又包括纵坐标）。 直观的说，拐点是连续曲线凹弧和凸弧的分界点。
具体可以见下图：
知识点：函数的极值和最值有什么区别
函数的极值和最值是数学中两个重要的概念，它们的区别主要在于所反映的函数性质不同。以下是详细介绍：
函数的极值是指在函数图像的某个区间内，函数值达到最大或最小的点，这些点通常被称为极值点，极值点是指函数在某点附近的局部性质，它们可能在区间的内部，也可能在区间的端点处。
函数的最值是指在函数图像的整个定义域内，函数值达到的最大或最小的点，这些点被称为最值点，最值点是指函数在整个定义域内的性质，它们表示函数值的绝对最大或绝对最小。
此外，函数的极值和最值在数学分析和应用中都有重要的意义，极值理论常用于优化问题和变分法中，而最值概念则广泛应用于各种数学和物理问题中。
知识点：函数的端点
在数学和物理学中，函数的端点是指定义该函数的区间的两个边界点。通常这些边界点会被指定为开区间或闭区间。函数端点的主要作用是限制函数的定义域和值域。
端点和拐点的区别
(1)定义不同：端点是线段的起点或终点，或者是定义范围的两端，而拐点是凹凸的分界点，在该点函数连续，二阶可导，二阶导数等于0。
(2)类型不同：端点是线段的起点或终点，而拐点是曲线凹凸的分界点。
知识点：函数的切点
在几何学中，在给定点处的平面曲线的切线是在该点处“刚好接触”曲线的直线。
通过切线和曲线相交的点，称为切点，切线与曲线“以相同的方向”，因此切点是曲线上的最佳直线近似点。
四、零点
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做y=f(x)的零点。
对于函数零点的定义我们注意以下三点：函数的零点是一个实数，当函数的自变量x取这个实数时，其函数值等于零；函数的零点也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标；求函数的零点就是求方程f(x)=0的实数根。
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