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高中数学:圆锥曲线 - 椭圆

英才学习3个月前 (05-10)圆锥曲线296

高中数学:圆锥曲线 - 椭圆

一、相关概念

以焦点在x轴上为例,具体如下图:

1715313301212.png

1.焦点:F1,F2

2.顶点:A1,A2,B1,B2

3.轴长:长轴长=2a=|A1A2|,短轴长=2b=|B1B2|,焦距=2c=|F1F2|

4.焦半径:|P1F1|、|P1F2|

5.焦点弦:左焦点弦|P1P2|

6.准线方程:右准线方程定直线.svg


二、椭圆第一定义、第二定义

1.椭圆第一定义:

平面内与两定点F1、F2 的距离的和等于常数 (大于|F1F2| )的动点P的轨迹叫做椭圆。即:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)

2.椭圆第二定义:

椭圆平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:定直线.svg (F不在l上)的距离之比为常数 常数.svg(即离心率e ,0<e<1)的点的轨迹是椭圆。


三、相关结论

以焦点在X轴时进行讨论

椭圆方程:

焦点在X轴.svg

图像如下:

1715313301212.png

1.离心率:e=常数.svg(0<e<1)  

2.焦半径:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0

左焦半径证明如下:

设P1坐标为(x0,y0)

|P1F1|/|P1Q1|=e

|P1F1|=e*|P1Q1|=c/a*(x0+c/a2)=a+ex0

右焦半径证明方法同上。

3.焦点弦:左焦点弦|P1P2|=2a+e(x1+x2)

左焦点弦证明如下:

设P1坐标为(x1,y1)、P2坐标为(x2,y2)

根据上面焦点半径证明可知:

|P1F1|=a+ex1,|P2F1|=a+ex2

所以|P1F1|+|P2F1|=2a+e(x1+x2)

右焦点弦证明方法同上。

4.准线方程:x=-a2/c,x=a2/c

5.切线方程:经过p(x0,y0)的切线方程为切线方程.webp

点P(x0,y0)在椭圆椭圆方程.webp上,

则过点P椭圆的切线方程为切线方程.webp

证明:

椭圆为椭圆方程.webp

,切点为P(x0,y0),则切线方程.webp(1)

对椭圆求导得椭圆求导.webp

, 即切线斜率切线斜率.webp

,故切线方程是

切线方程.webp

,将(1)代入并化简得切线方程为

切线方程.webp







高中数学:圆锥曲线 - 椭圆.png


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