高中数学：圆锥曲线 - 椭圆

一、相关概念

以焦点在x轴上为例，具体如下图：

1.焦点：F₁，F₂

2.顶点：A₁，A₂，B₁，B₂

3.轴长：长轴长=2a=|A₁A₂|，短轴长=2b=|B₁B₂|，焦距=2c=|F₁F₂|

4.焦半径：|P₁F₁|、|P₁F₂|

5.焦点弦：左焦点弦|P₁P₂|

6.准线方程：右准线方程

二、椭圆第一定义、第二定义

1.椭圆第一定义：

平面内与两定点F1、F2 的距离的和等于常数 （大于|F1F2| ）的动点P的轨迹叫做椭圆。即：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）

2.椭圆第二定义：

椭圆平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l： （F不在l上）的距离之比为常数 （即离心率e ，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

三、相关结论

以焦点在X轴时进行讨论

椭圆方程：

图像如下：

1.离心率：e=(0<e<1)  

2.焦半径：|PF₁|=a+ex₀,|PF₂|=a-ex₀

左焦半径证明如下：

设P₁坐标为（x₀,y₀)

|P₁F₁|/|P₁Q₁|=e

|P₁F₁|=e*|P₁Q₁|=c/a*(x₀+c/a²)=a+ex₀

右焦半径证明方法同上。

3.焦点弦：左焦点弦|P₁P₂|=2a+e(x₁+x₂)

左焦点弦证明如下：

设P₁坐标为（x₁,y₁)、P₂坐标为（x₂,y₂)

根据上面焦点半径证明可知：

|P₁F₁|=a+ex₁，|P₂F₁|=a+ex₂

所以|P₁F₁|+|P₂F₁|=2a+e(x₁+x₂)

右焦点弦证明方法同上。

4.准线方程：x=-a²/c，x=a²/c

5.切线方程：经过p(x₀,y₀)的切线方程为

点P(x₀,y₀)在椭圆上，

则过点P椭圆的切线方程为

证明：

椭圆为

,切点为P(x₀,y₀),则(1)

对椭圆求导得

, 即切线斜率

,故切线方程是

,将(1)代入并化简得切线方程为