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圆锥曲线选填压轴小题之面积问题

英才学习-阿江3年前 (2021-12-11)圆锥曲线1034

圆锥曲线选填压轴小题之面积问题

综述

【基本知识】

1、弦长问题：设圆锥曲线 $C∶f(x,y)=0$ 与直线 $l:y=kx+b$ 相交于 $A(x_1,y_1)$ ， $B(x_2,y_2)$ 两点，则弦长 $|AB|$ 为：

$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta_x}}{|a|}$ 或 $|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot|y_1-y_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot\frac{\sqrt{\Delta_y}}{|a|}$ 2、三角形面积问题：

直线 $AB$ 方程： $y=kx+m$ ， $d=|PH|=\frac{|kx_0-y_0+m|}{\sqrt{1+k^2}}$

则 $S_{△ABP}=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=\frac{1}{2}\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta_x}}{|a|}\frac{|kx_0-y_0+m|}{\sqrt{1+k^2}}$ 3.焦点三角形的面积：

直线 $AB$ 过焦点 $F_2$ ， $△ABF_2$ 的面积为 $S_{△ABF_2}=\frac{1}{2}|F_1F_2|\cdot|y_1-y_2|=c\cdot|y_1-y_2|=c\cdot\frac{\sqrt{\Delta_y}}{|a|}$

4.平行四边形的面积：

直线 $AB$ 方程： $y=kx+m_1$ ，直线 $CD$ 方程： $y=kx+m_2$ ,两直线之间的距离 $d=|CH|=\frac{|m_1-m_2|}{\sqrt{1+k^2}}$ $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta_x}}{|a|}$ ,则 $S_{平行四边形ABCD}=|AB|\cdot d=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta_x}}{|a|}\cdot\frac{|m_1-m_2|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{\Delta_x}\cdot|m_1-m_2|}{|a|}$ 5.面积的向量表示：

（1）在 $△ABC$ 中，设 $\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)$ ， $\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2)$ ，则 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$ （2）

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sin\angle{ACB}=\frac{1}{2}\sqrt{(|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|)^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}$

【基本技能】

1、面积问题的解决策略：

（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。

（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.

(3)多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.

2、面积范围的解决策略：

通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析.

方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想.

均值不等式： $a^2+b^2\geq2ab\ \ (a,b\in R)$ 变式： $a+b\geq2\sqrt{ab}\ \ (a.b\in R^+)$ , $ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\ \ (a,b\in R^+)$

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值！

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：

1） $S=\frac{2t}{t^2+64}=\frac{2}{t+\frac{64}{t}}$ （注意分 $t=0,t>0,t<0$ 三种情况讨论）

2） $|AB|^2=3+\frac{12k^2}{9k^4+6k^2+1}=3+\frac{12}{9k^2+6+\frac{1}{k^2}}\leq3+\frac{12}{2\times3+6}$ ,当且仅当 $9k^2=\frac{1}{k^2}$ 时，等号成立

3） $|PQ|^2=34+25\cdot\frac{25y_0^2}{9x_0^2}+9\cdot\frac{9x_0^2}{25y_0^2}\geq34+2\sqrt{25\cdot\frac{25y_0^2}{9x_0^2}\times9\cdot\frac{9x_0^2}{25y_0^2}}=64$ ，当且仅当 $25\cdot\frac{25y_0^2}{9x_0^2}=9\cdot\frac{9x_0^2}{25y_0^2}$ 时等号成立.

4） $S=\frac{1}{2}\sqrt{12-\frac{3}{2}m^2}\cdot\frac{|m|}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}m^2(8-m^2)}\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}\times\frac{m^2+8-m^2}{2}=\sqrt{2}$ ,当且仅当 $m^2=8-m^2$ 时，等号成立.

5） $S=2\sqrt{2}\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{2k^2-m^2+1}}{1+2k^2}\cdot\frac{|2m|}{\sqrt{1+k^2}}=4\sqrt{2}\frac{\sqrt{(2k^2-m^2+1)m^2}}{1+2k^2}\leq4\sqrt{2}\frac{\frac{2k^2-m^2+1+m^2}{2}}{1+2k^2}=2\sqrt{2}$ 当且仅当 $2k^2-m^2+1=m^2$ 时等号成立.

6） $S=\frac{1}{2}|PQ|\cdot|PG|=\frac{8k(1+k^2)}{(1+2k^2)(2+k^2)}=\frac{8(k+\frac{1}{k})}{1+2(k+\frac{1}{k})^2}$ 设 $t=k+\frac{1}{k}$ ，则由 $k>0$ 得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为 $S=\frac{8t}{1+2t^2}$ 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值.