高中数学：圆锥曲线

一、定义

圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。

用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。具体见下图:

圆锥曲线统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。

给定一点P，一直线l以及一常数e>0，则到P的距离与l距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。

根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：

①e=1（即到P与到l距离相同），轨迹为抛物线；

②0<e<1，轨迹为椭圆；

③e>1，轨迹为双曲线。

定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。

焦点：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点。

准线：定义中提到的定直线称为圆锥曲线的准线。

离心率：固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与对应准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率。

焦准距：焦点到对应准线的距离称为焦准距。

焦半径：焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。

弦和焦点弦：类似圆，圆锥曲线上任意两点之间的连线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。平行于准线的焦点弦称为通径，物理学中又称为正焦弦。

二、抛物线

1.定义

右开口抛物线：y²=2px

左开口抛物线：y²=-2px

上开口抛物线：x²=2py

下开口抛物线：x²=-2py

(p>0) [p为焦准距]

2.特点

在抛物线y²=2px 中，焦点是 ，准线的方程是 ，离心率e=1 ，范围：x≥0 ；

在抛物线y²=-2px 中，焦点是 ，准线的方程是 ，离心率e=1 ，范围：x≤0 ；

在抛物线x²=2py 中，焦点是 ，准线的方程是 ，离心率e=1，范围：y≥0 ；

在抛物线x²=-2py 中，焦点是 ，准线的方程是 ，离心率e=1，范围：y≤0 。

3.抛物线四种方程的异同

共同点：

(1)原点在抛物线上，离心率e均为1 

(2)对称轴为坐标轴；

(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

不同点：

(1)对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y²；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x²；

(2)开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；

开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

三、椭圆

1.第一定义

平面内与两定点F₁ 、F₂ 的距离的和等于常数2a （2a > |F₁F₂| ）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：|PF₁|+|PF₂|=2a

其中：两定点F₁ 、F₂ 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F₁F₂| =2c < 2a 叫做椭圆的焦距。

P为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为2a 。

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为2b 。

2.第二定义

椭圆平面内到定点F （c，0）的距离和到定直线 l : （F 不在 l 上）的距离之比为常数 （即离心率 e ，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

其中：

定点F 为椭圆的焦点，定直线 l  称为椭圆的准线〈该定直线的方程是 （焦点在x轴上），或 （焦点在y轴上）〉。

3.其他定义

根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴（事实上只要是直径都可以）两端点连线的斜率之积是定值，定值为 e²-1

 〈前提是长轴平行于x轴。若长轴平行于y轴，比如焦点在y轴上的椭圆，可以得到斜率之积为 -a²/b²=1/（e²-1）〉，可以得出：

在坐标轴内，动点（x,y ）到两定点（a,0 ）（-a,0 ）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）。

注意：考虑到斜率不存在时不满足乘积为常数，所以x=a,x=-a 无法取到，即该定义仅为去掉四个点的椭圆。

椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

四、双曲线

我们把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F₁F₂|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。

即：||PF₁|-|PF₂||=2a

1.定义：

定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

2.标准方程

（1）焦点在x轴上时为：

 （a>0，b>0）

（2）焦点在y轴上时为：

 （a>0，b>0）

其中：||PF₁|-|PF₂||=2a，b²=c²-a²，|F₁F₂|=2c。

（3）分支

可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。

（4）焦点

在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点，焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。

（5）准线

在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。

双曲线的准线的方程是： 

（焦点在x轴）

或

 （焦点在y轴）

（6）离心率

在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。

离心率

双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线，但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，并且两支关于虚轴对称。所以在两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）

（7）顶点

双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。

（8）实轴

两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。

（9）虚轴

在标准方程中令x=0，得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1（0，b）和B2（0，-b），以B₁B₂为虚轴。

（10）渐近线

双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。

渐近线的方程求法是：将标准方程的右边的常数改为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。

以焦点在x轴上的双曲线为例，将方程改为

，移项之后两边开平方得，这就是焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程。

同理可知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为。

五、圆锥曲线性质

圆锥曲线的性质：

定理一：平面内五个点，其中任意三个不共线，则经过这五个点的圆锥曲线有且只有一条。

定理一‘：平面内五条直线，其中任意三条不共点，则与这五条直线都相切的圆锥曲线有且只有一条。

定理二（帕斯卡定理）：内接于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三组对边交点共线。

定理二‘（布里昂雄定理）：外切于非退化的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线、圆）的六边形的三条对角线共点。

定理三（定理二的逆）：如果一六边形的三组对边交点共线，那么这个六边形内接于一圆锥曲线上。

定理三’（定理二‘的逆）：如果一六边形的三条对角线共点，那么这个六边形外切于一圆锥曲线上。

定理四（定理二的极限情况）：圆锥曲线的内接三角形，每个顶点的切线与其对边的交点共线。设△ABC内接于一圆锥曲线，在点A处的切线为a，在点B处的切线为b，在点C处的切线为c。a和BC交于P，b和AC交于Q，c和AB交于R，则PQR三点共线。

定理四’（定理二‘的极限情况）：圆锥曲线的外切三角形，每条边的切点与其对顶点的连线共点。设△ABC外切于一圆锥曲线，BC边上的切点为P，AC边上的切点为Q，AB边上的切点为R。连接AP、BQ、CR，则这三条直线交于同一点。