函数y=x^x,y=x^x的图像与性质

设函数其中,x>0。

对上式两边取对数,有

对x求导,有

其中,等式左侧运用了隐函数求导法则,即将y视为x的函数。

整理,得

令y′=0,解得

随着x的变化,y和y'变化情况如下

因此,函数在(0,1/e)上单调递减,在(1/e,+∞)上单调递增。即在x=1/e处取得极小值

利用计算器,可以得出近似值为0.6922,非常接近ln2。

函数y=x^x的图像,如图所示。

显然,当x→+∞时,y→+∞;当x→0+时,有

利用洛必达法则,有

因此,有

即值为1。

[例题](2024年10月,北京理工大学附中高三月考)若0<a<b<1,c>1，则(  )。  

A)a^a<b^b    B) a^a>b^b    C)log_ac>log_bc    D)ab^c<ba^c

[答案]C

[解析]根据函数y=x^x的性质可知,其在(0,1)上不单调。因此,选项A和选项B均错误。

关于选项C:由于c>1,所以考虑对数函数y=log_cx。显然该函数在(0,+∞)上单调递增。由于0<a<b<1，所以        

利用换底公式的推论

于是,有

两边取倒数,有

因此,选项C正确。

关于选项D:由于c>1,所以c-1>0。又由于0<a<b<1,所以                        

考虑指数函数y=(a/b)^x。显然该函数在R上单调递减。于是,有

整理,得

因此,选项D错误。

综上,选项A、B、D错误,选项C正确。故选C。