极值点偏移

一、极值点偏移的定义

对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x₀，方程f(x)=0的解为x₁、x₂,且a<x₁<x₂<b。若(x₁+x₂)/2≠x₀,则称函数y=f(x)在区间(a，b)上极值点x₀偏移.

若(x₁+x₂)/2>x₀，则称函数y=f(x)在区间(a,b)上极值点x₀左偏,简称x₀左偏；

若(x₁+x₂)/2<x_0，则称函数y=/(x)在区间(a,b)上极值点 x₀右偏,简称x₀右偏。

图一：左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x₁)=f(x₂),则x₁+x₂=2x₀

图二：左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x₁)=f(x2),则x₁+x₂＞2x₀

图三：左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x₁)=f(x2),则x₁+x₂＜2x₀

用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步：

第一步：

求导，获得f(x)的单调性，极值情况，作出f(x)的图象，由f(x₁)=f(x₂)得x₁，x₂的取值范围(数形结合)；

第二步：

构造辅助函数(对结论x₁x₂>(<)2x₀，构造F(x)=f(x)-f(2x₀-x);对结论x₁x₂>(<)(x₀)²，构造F(x)=f(x)-f((x₀)²/x)，求导，限定范围(x₁或x₂的范围)，判定符号，获得不等式；

第三步：

代入x₁(或x₂〉，利用f(x₁)=f(x₂)及f(x)的单调性证明最终结论。

二、案例分析

点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：

拓展训练

通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤已有所了解，但极值点偏移问题的结论不一定总是x₁+x₂＞(＜)2x₀，也可能是x₁x₂＞(＜)x₀²， 借助前面的解题经验，我们就可以给出类似的过程。

    小结

用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步：

>第一步：

第二步：

第三步：

小试牛刀

1

问题二：

实例分析

点评

备注：用函数y=x-lnx来做(3)(4)两问，过程如行云流水般，格外顺畅，这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可化简过程，减低难度。

注意点1：

注意点2：

思考：

极值点偏移问题一中的练习1应该用哪一个函数来做呢？

2

问题三：变更结论

实例分析

解法一: 换元法

解法二: 加强命题

小试牛刀

3

问题四：比值代换

能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？

答案是肯定的，以笔者的学习经验为线索，我们先看一个例子．

实例分析

从上面的证明式子中，我们不难发现：

那么同学们可以试想下：是否一开始就做这个代换呢？

这样一种比值代换在极值点偏移问题中也大有可为.

下面就用这种方法再解前面举过的例子．

再解例1：

再解例3：

再解练习1：

再解例4：

再解例5：

再解例7：

再解例8：

行文至此，相信读者已经领略到比值代换的威力．用比值代换解极值点偏移问题方便、快捷，简单得很．只需通过一个代换就可"双元"化"单元"，变为单变量的函数不等式，可证．那是不是可以就此忘掉前面三讲的内容呢？只需比值代换，就可偏移无忧？

这里，笔者必须指出，前面再解的过程中有意地略去了一些例子（不知细心的你是否发现），这就补上，请读者明察．

试再解例2：

试再解例6：

试再解练习2：

这是比值代换的败笔，又是最精彩之处．没有任何一种方法是万能的，我们不仅要熟悉它的优势，熟练它的操作，还要清醒地认识到它的缺陷，运用时要注意哪些问题，这其实是为了更好的运用．

点评

最后，我们来看比值代换另一个应用．

小试牛刀

4

问题五：对数平均不等式

回顾：

对数平均不等式：

接下来给出对数平均不等式的多种证法：

证法1：对称化构造

证法2：比值代换

证法3：主元法

证法4：积分形式的柯西不等式

证法5：几何图示法

图1

图2

实例分析

再解例1：

再解例2：

再解例3：

再解练习1：

再解例4：同本节例1

再解例5：同本节例1

再解例7：

再解例8：

再解练习2：

解练习3选项D：

点评

极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，用对数平均不等式解题的关键有以下几步：

细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6，读者可尝试），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键．

最后再举一例．

证法1：

证法2：

5

问题六：泰勒展开

这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景．以极小值点的偏移为例进行说明

图1

图2

以上只是直观（或者说非常粗略）的分析，下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格证明，算作极值点偏移问题的另一种本质回归．

极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述．

至此，我们得到极值点偏移问题的如下判定定理：

注意：

实例分析

再解例1：

再解例2：

再解例4：

再解例6：

再解例8：

再解例10：