三正弦定理
三正弦定理
三正弦定理是一个在立体几何中应用的定理,其表达式为sinγ = sinα · sinβ。该定理可以从具体的几何问题中抽象出来,例如老版高中教材人教版《数学》必修第二册中的一个问题:河堤斜面与水平面所成的二面角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤脚水平线AB的夹角为30°,沿这条直道从堤脚向上行走一定距离时人的升高量,就可以通过三正弦定理来计算。
在二面角α-l-β中,在平面β内取点P,过点P作PA⊥α,垂足为A。在平面α上,过点A作AB⊥l,垂足为B。C为l上不同于点B的任意一点。连接PB,PC和AC。若∠PBA=θ1,∠PCB=θ2,∠PCA=θ,则sinθ = sinθ1· sinθ2
证明过程:
证明:由于PA⊥α,所以PA⊥AB,PA⊥AC。在Rt△PAB中,sinθ1=PA/PB
在Rt△PAC中,sinθ=PA/PC
由于PA⊥α,所以PA⊥BC。又由于AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥面PAB。于是,BC⊥PB。在Rt△PCB中,sinθ2=PB/PC
从而,有sinθ1· sinθ2=PA/PB.PB/PC=PA/PC=sinθ
因此,原式得证。
由于AB⊥l,PB⊥l,B∈l,所以定理中的θ1为二面角α-l-β的平面角。θ2一般称为线棱角。又由于PA⊥α,所以θ为直线PC与α所成的线面角。三正弦定理揭示了所有的线面角中,二面角是最大的,因此该定理又称最大角定理。
应用:
三正弦定理主要适用于立体几何领域,特别是在解决与二面角、斜面上的直线与底面所成角以及沿该直线上升或下降的高度有关的问题时,该定理非常有用。
三余弦定理
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