空间几何:三余弦定理‌(折叠角公式或‌爪子定理)

一、定义

‌‌三余弦定理‌,也称为‌折叠角公式或‌爪子定理,它描述了在‌立体几何中,过平面外一点B的直线BO在平面上的射影为AO,OC为面上的一条直线时,∠COB、∠AOC、∠AOB三角的余弦关系。即cos∠COB=cos∠AOB.cos∠AOC。‌

cos∠COB=cos∠AOB.cos∠AOC

如何记忆：

这三个角中,∠COB是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成∠AOB是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。(运用时可以背诵成,横的角乘以竖的角等于斜的角)

应用

三余弦定理在立体几何中有着广泛的应用,特别是在处理与平面和直线相关的角度问题时非常有用。例如,在求解直线与平面所成角或二面角的问题中,三余弦定理结合‌三正弦定理可以提供有效的解决方案。

二、推论

推论一：折叠角公式推论

PO是平面α的一条斜线,PH⊥α,垂足为H,l为平面α内任意一条直线(与OH的射影不重合也不平行),设PO与直线l所成角为θ,PO与平面α所成角为θ₁,OH与直线l所成较小角为θ₂,则cosθ=cosθ₁.cosθ₂。

推论二：折叠角公式推论

折叠角公式(三余弦定理)逆定理依旧成立。

推论三：折叠角公式推论

从空间一点O引出的三条射线OA、OB、OC满足cos∠AOC=cos∠AOB×cos∠BOC,则面AOB⊥面BOC。