高中数学：异面直线的距离的六种求法

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求异面直线A₁D与AC的距离。

1.方法一

一、直接利用定义求解

如图1，取AD中点M，连MD₁、MB分别交A₁D、AC于E、F，连BD₁，由平面几何知识，易证ME=1/3MD₁,MF=1/3MB,MD₁=MB,则BD₁//EF。

由，得⊥平面，则，同理AC⊥，所以，EF⊥，EF⊥AC，即EF为异面直线与AC的距离，故有EF=。

此法的关键是作出异面直线的公垂线段。

2.方法二 

二、转化为线面距离求解

如图2，连、，则AC∥平面。设AC、BD交于O，、交于，连，作OE⊥于E，由⊥平面知，故OE⊥平面。

所以OE为异面直线与AC的距离。

在△中，，则

。

所以异面直线与AC的距离为。

此法是将线线距离问题转化为线面距离问题来解，合理、恰当地转化是解决问题的关键。

3方法三

三、转化为面面距离求解

如图3，连、、、、，易知平面，则异面直线与AC的距离就是平面与平面的距离，易证⊥、⊥平面，且被平面和平面

三等分，又。

所以异面直线与AC的距离为。

此法是将线线距离问题转化为面面距离问题来解，巧妙的转化常能收到事半功倍的奇特效果。

4. 方法四

四、构造函数求解

如图4，在上任取一点E，作EM⊥AD于M，再作MF⊥AC于F，连EF，则∠EMF=。

设MD=，则ME=，AM，在中，∠FAM=，则

所以

_，

当且仅当时，EF取最小值。

所以异面直线与AC的距离为。

选取恰当的自变量构造函数，即可利用函数的最小值求得异面直线间的距离。

5. 方法五

五、利用体积变换求解

如图5，连、、，则∥平面，设异面直线与AC的距离为，则D到平面的距离也为。

易知

_，

_。

由，

得。

所以，则。

所以异面直线与AC的距离为。

此法是将异面直线的距离转化为锥体的高，然后利用体积公式求之。

6

 方法六

六、利用向量求解

如图6，AB为异面直线、的公垂线段，为直线AB的方向向量，E、F分别为直线、上的任意一点，则。

证明：显然=，，。

所以，

所以，

所以，

即，

所以。

把上述结论作为公式来用，即可巧妙地求出某些问题中的异面直线间的距离。

建立如图7所示的空间直角坐标系，易知

_，

_{=（-1，1，0），}

（-1，0，0）。

设异面直线

_{、AC的公垂线的方向向量为}

_，由，，得

解得

故可取

_。

所以异面直线

_{与AC的距离为}。

此法是利用公式求解，具有不必作出公垂线段的特点，合理、恰当地建立空间直角坐标系，常能使问题变得简单易解。