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圆锥曲线压轴题与圆有关的最值问题

英才学习-阿江3年前 (2021-12-16)圆锥曲线1058

综述


一、考情分析

通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.


二、经验分享


1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.

(2)与圆上点(xy)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如  型的最值问题,可转化为过点(ab)和点(xy)的直线的斜率的最值问题;②形如taxby型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如  型的最值问题,可转化为动点到定点(ab)的距离平方的最值问题.
2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化

三、知识拓展


1.圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于,最小值等于  .
2.圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径,最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径.
3.设点M是圆C内一点,过点M作圆C的弦,则弦长的最大值为直径,最小的弦长为  .


四、题型分析


(一) 与圆相关的最值问题的联系点


1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题

利用公式  (  )将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.
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处理方法:直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分  与  两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当  ,斜率k∈[0,+∞);当  时,斜率不存在;当  ,斜率k∈(-∞,0).


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【答案】C

【解析】

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【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数ytan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制;求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数ytan x的单调性求k的范围.


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【答案】B

【解析】

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1.2 与距离有关的最值问题


在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.


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【答案】  

【解析】

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【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.


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【答案】C

【解析】

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【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形.


1.3  与面积相关的最值问题


 与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.


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【答案】A

【解析】

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【答案】D

【解析】

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【答案】C

【解析】

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(二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法

2.1 数形结合法

处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.


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【分析】(1)利用斜率模型;(2)利用截距模型;(3)利用距离模型

【解析】

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【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解.常见的最值问题有以下几种类型:①形如  型的最值问题,可转化为过点(ab)和点(xy)的直线的斜率的最值问题;②形如taxby型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如  型的最值问题,可转化为动点到定点(ab)的距离平方的最值问题.


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【答案】B

【解析】

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2.2 建立函数关系求最值


根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.


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【答案】D

【解析】

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2.3 利用基本不等式求解最值

 如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如  或者  的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.

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【答案】5

【分析】根据  ,可用均值不等式求最值

【解析】

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【答案】D

【解析】

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四、提高训练(共23道题)

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【答案】A

【解析】

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【答案】C


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【答案】B

【解析】

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【答案】D


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【答案】C


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【答案】C


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【答案】A


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【答案】D

【解析】

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【答案】D

【解析】

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【答案】A

【解析】

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【答案】B


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【答案】C


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【答案】D

【解析】

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【答案】C


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【答案】B


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【答案】C


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【答案】A


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【答案】B


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【答案】C


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【答案】  


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【答案】  

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【答案】  


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