杨辉三角

一、定义

杨辉三角，又称贾宪三角，帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

中国南宋数学家杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

下面让我们先看下什么是杨辉三角？

杨辉三角形如下图：

二、”杨辉三角“特性

1.最外斜列数字都是1，其它数字都是肩上两个数字的和。

2.第二层是自然数数列（是数序术语,数列1,2,3,4,……n,称为自然数列。）；

3.第三层是三角数列（三角形数列的规律三角形数列是一种由自然数逐次相加而成的数列,其前几项依次为1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...），这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形；

4.三角数列相邻数字相加可得方数数列。

5.斐波那契数列

按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列。

6.

每行端点与结尾的数为1

每个数等于它上方两数之和。

每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

第n行的数字有n项。

前n行共[(1+n)*n]/2 个数。

第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

(a+b)ⁿ的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

三、“杨辉三角”与二项式乘方

(a+b)ⁿ（n=1，2，3，4，…）展开式如下图：

是不是和杨辉三角很类似？

(a+b)ⁿ的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

四 、“杨辉三角“与二项式定理

二项式定理：

这个公式也称二项式公式或二项恒等式。