组合数公式

组合数是二项式展开系数问题时的产物，在中国杨辉三角就是最好的描述组合数的一个规律，外国也叫Pascal’s三角，如下：

组合数的定义如下：

二项式展开定理形式如下：

组合数有很多性质，下面都是组合数的性质

第一个性质，直接用定义，分子上留一项n+1-k,分母留一项k，就可以得到。第二个性质（3）式子表明从n个内取出k个的方法数，和取出n-k个方法数一样多，就是取走k个，留下n-k个，相等于把留下的取走了，把取走的留下了。第三个性质中，第一个式子同性质1方法，第二个式子说明从n+1个内取走k个，可以看作这k个内含有不含有指定的某个元素，如果不含有就是n（不含指定元了，所以少1个）个内取k个，这k个内含有指定元（就成了只取k-1个），从n个内取k-1个。

利用二项式展开定理和组合数的性质，进一步又可以得到如下的一些组合数的代数和性质

上面这些组合数的代数和，在求和或者计算中都有很多应用，全部列举出来，仅供参考。