数列

一、定义

数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用a_n表示。

数列的一般形式可以写成 简记为{a_n}。

数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

用符号{a_n}表示数列，只不过是“借用”集合的符号。

二、常见数列

（一）等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n项和用S_n表示。等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）

1.通项公式：

a_n=a₁+(n-1)d （一次函数）

其中，n=1时 a₁=S₁；n≥2时 a_n=S_n-S_n-1。

a_n=k_n+b(k,b为常数)

2.等差中项：

由三个数a，A，b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。有关系：A=(a+b)÷2。

3.前n项和：

S_n=n(a₁+a_n)÷2

4.性质：

（1）任意两项a_m，a_n的关系为：a_n=a_m+(n-m)d，它可以看作等差数列广义的通项公式。

（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a₁+a_n=a₂+a_n-1=a₃+a_n-2=…=a_k+a_n-k+1，k∈N*。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a_m+a_n=a_p+a_q。

（4）对任意的k∈N*，有S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…，S_nk-S_(n-1)k…成等差数列。

（二）等比数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。

等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。

1.通项公式

（其中首项是a₁，公比是q）；

(n≥2)。

2.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：；。

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，

所以是a、G、b三数成等比数列的必要不充分条件。

3.前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为：

；

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为：

；

前n项和与通项的关系：

；

（n≥2）。

4.性质

（1）若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则；

（2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

（4）等比中项：q、r、p成等比数列，则则为等比中项。

记，则有。

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂C^an，则是等比数列。

在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5) 等比数列前n项之和；

(6)任意两项a_m,a_n的关系为；

(7)在等比数列中，首项a₁与公比q都不为零。

等比公式求和公式推导：

（1）Sn=a₁+a₂+a₃+...+a_n(公比为q)

（2）qSn=a₁q + a₂q + a₃q +...+ a_nq = a₂+ a₃+ a₄+...+ a_n+ a_(n+1)

（3）Sn-qSn=(1-q)Sn=a₁-a_(n+1)

（4）a_(n+1)=a₁qⁿ

（5）Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)（q≠1)