数列递推与求和

定义1 对于任意正整数n，有递推关系

确定的数列称为递推数列，或称为递归数列.

定义2 若数列从第k项以后任一项都是其前k项的线性组合，即

其中n是正整数，，则称为k阶线性递推数列.

当时，则有

此时为阶齐次线性递推数列.

1 常系数一阶递推数列

常系数一阶递推数列的一般形式为

处理这种情况的一般方法是将其转化为等比数列.

若，则该数列变为等差数列，其通项公式为

若，这里介绍不动点法.

注：对于函数，若存在，使得，则称为的不动点.

设，则的不动点为，则有

故

其中为初始值已知，.

2 变系数一阶递推数列

变系数一阶递推数列的一般形式为

处理这个问题一般性的解法是构造辅助函数. 引入待定函数，使得

对比系数可得

即

为了求出，不妨令，有上面的方程组可得

再由累乘法可得

这个问题的结果过于繁琐，没有必要记住这个结论，关键在于掌握构造函数这一方法. 同时应该熟练掌握下面几个特例.

2.1 等比型数列

当时，该数列常称为等比型数列. 此时只需要运用累乘法即可.

2.2 等差型数列

当时，该数列常称为等差型数列. 此时只需要运用累加法即可.

注：还有一些其他的递推方程，可以经过代数变形转化为等差型数列、等比型数列或者一般的变系数一阶递推数列.

3 常系数k阶线性递推数列

最常见的线性递推数列是二阶线性递推数列，它的递推式为

若，则

则是等比数列，先求，然后利用累加法求出.

若，则存在满足

则为等比数列，再由已知方法求出.

注意到，是方程的两个根，将方程

称为递推式的特征方程，由此得到二阶齐次线性递推数列的一般方法：

step1. 解出特征方程的两根；

step2. 若，则；若，则，其中为待定常数，可由初始值解出.

由此可以推广到k阶线性递推的情况：

step1. 写出特征方程并解出不同的根，其对应的重根数为；

step2. 则通项为，其中为待定常数，由初始值确定.

注：对于非齐次的递推数列，我们可以通过配凑系数将之转化为齐次递推数列.

4 变系数二阶线性递推数列

仿照上述2和3的方法，解决变系数二阶线性递推数列的基本想法是通过构造函数，将其转化为一阶递推数列进行求解.

对于一个一般的变系数二阶线性递推数列

设法将写成

的形式，则有

即

此时可以看到为等比型数列，利用前面的方法即可得到通项

这个形式非常复杂，最重要的是理解和掌握思想方法，而不是死记硬背.

5 非线性递推数列

下面列举了一些最常见的非线性递推数列.

5. 1 乘积幂指型

这种类型可以尝试取对数，将递推式转化为和或差的形式，划归为上述的递推情况.

5. 2 含根号型

基本思想是去根号，可以尝试平方或换元，遇到具体问题可以多尝试.

5.3 分式型递推

分式型递推的一般形式为，其中为常数，. 解决这类问题的一般性方法为不动点法.

由方程

可解得特征根.

（1）若，

· 当时，；

· 当时，为等差数列.

（2）若，则为等比数列.

（3）若不是实数，则该数列为周期数列.

6 数列求和

1. .

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

除此之外，对于陌生的求和式，可以考虑裂项方法.