初中几何：相似三角形的性质、定理、推论、模型

一、相似三角形的定义与性质
(1)定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

(2)表示：在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。

(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；推论：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

(4)相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比.设▲ABC与▲A'B'C'的相似比为k，▲A'B'C'与▲ABC的相似比为k'，则k'=1/k.

注意：

①两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关;

②当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此全等三角形是相似三角形的特例.

二、相似三角形的判定定理

1.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；

2.如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等,这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）；

3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；

4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。

三、直角三角形相似的判定定理

1.直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；

2.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

四、有关相似三角形模型

1.A字型、反A字型、8字型、反8字型、子母型、一线三垂直型

2.一线三等角型

3.A字型线簇模型

4.8字型线簇模型

5.三角形内接矩形模型

6.三平行模型

相似三角形的基本图形

(1)平行线型：A型与X型.

(2)斜交型.

(3)共边共角型

(4)双垂型

(5)旋转型

五、相似三角形的性质定理

1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。

2.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项

7.a/b=c/d等同于ad=bc.

8.不必是在同一平面内的三角形里。

六、符合下面的情况中的任何一种的两个（或多个）三角形一定相似

1.两个全等的三角形

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1:1。

2.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形

两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

3.两个等边三角形

两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似。

4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形

由于斜边的高形成两个直角，再加上一个公共的角，所以相似。

七、判定三角形相似的思路

八、相似三角形定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。