初中数学：有关多线段和差最值问题

线段（和）差最值问题的知识背景 

 1.线段公理——两点之间，线段最短； 

 2.对称的性质——关于一条直线对称的两个图形全等、对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线； 

 3.三角形两边之和大于第三边； 

 4.三角形两边之差小于第三边； 

 5.垂直线段最短； 

 6.过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。

一、线段和差最值的两个重要模型

1.将军饮马模型

（1）如图1,点P在直线1上，点A,B是直线1同侧的两个定点，确定点P的位置，使PA+PB最小．

（2）如图2,点P为定点，点A,B分别在直线l1,l2上，确定点A,B的位置，使PA+PB+AB最小．

（3）如图3,点P,Q为定点，点A,B分别在直线l1, 12上，确定点A,B的位置，使PA+PB+AB最小．

（4）如图4,点P,Q为定点，点A,B是直线l上两个动点（点A在点B左侧）且AB为定值，确定点A,B的位置，使QA+PB最小。

（5）如图5,点P为定点，点A是直线4上的动点，作AB⊥L2于点B,确定点A的位置，使PA+AB最小．

（6）将军饮马模型的基本原理：异侧共线和最小．

具体可以查看下面链接：

初中几何模型-将军饮马模型

https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2838.html

2.线段差最大模型

（1）如图6,点P在直线1上，点A,B是直线i同侧两个定点，确定点P的位置，使｜PA-PB|最大．

（2）如图7,点P在直线l上，点A,B是直线l异侧两个定点，确定点P的位置，使｜PA-PB|最大．

（3）线段差最大模型的基本原理：同侧共线差最大．

二、线段和差最值的两种主要解法

1.几何方法：以构造对称，全等三角形，平行四边形等方法为主．

2.代数方法：以设参数，代数式（解析式）化简变形为主．