二次函数 铅垂法求面积

在平面直角坐标系中，已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7)，求△ABC的面积．

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：

构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积．这是在“补”，

同样可以采用“割”：

此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离．
由题意得：AE+BF=6．下求CD：
根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为：

由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4，
将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2，故D点坐标为（4,2），CD=5,
综上，S=0.5×6×5=15．

铅垂法方法总结

作以下定义：（1）水平宽：A、B两点之间的水平距离；（2）铅垂高：过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”．

如图可得：

【解题步骤】（1）求A、B两点水平距离，即水平宽；（2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；（3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；（4）根据C、D坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．

真题演练

2019海南中考（删减）

如图，已知抛物线y=ax²+bx+5经过A(-5,0)、B(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值．

【分析】（1）y=x²+6x+5；（2）取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，则PQ即为铅垂高．

根据A、C两点坐标得AC=4，根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=x+1，设P点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1），得PQ=-m²-5m-4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．
【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．

【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？


铅垂法大全

铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：

（1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．

（2）取AC作水平宽，过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D，BD即对应的铅垂高，

（3）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．

甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．
（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．

（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．

（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．

总结如下：

对坐标系中已知三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，
按铅垂法思路，可得：

如果为了好看，也可以这么写：

可以查看三阶行列式：https://yc8.com.cn/wenzhang/202309/3179.html