初中几何模型-阿氏圆数学模型（二）

初中几何模型-阿氏圆数学模型（一）

一、定义

“PA+k·PB”型最值问题是初中数学的热点与难点。当 k=1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，便可用我们常见的“将军饮马”模型来解决。.

当k ≠1 时，常规的轴对称思想无法使用。因此我们想要通过转化，把题目变为我们熟悉的模型，在这个过程中产生了两种模型。当动点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”模型；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”模型。

 数学家阿波罗尼斯发现这类问题，故称“阿氏圆”。  

二、模型

"阿氏圆"模型

如图 1 ，⊙O的半径为 r，点 A、B 都在⊙O外，P 是⊙O 上一动点，已知 r=k·OB， 连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

类似于胡不归模型，需要把“k·PB”转化。

如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·OP，则有△BPO 与△PCO 相似（利用对应边成比例），由此可得 k·PB=PC（转化成功）。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时， “PA+PC”值最小。如图 3

做题时最关键步骤就是“转化k·PB”,

在 OB 上取点 C，使得OC/OP=OP/OB。

三、例题及思路