初中几何模型-阿氏圆数学模型（一）

初中几何模型-阿氏圆数学模型（二）

一、定义

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”。

在“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。

如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆。

这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

二、特点及性质

（一）特点

1.阿氏圆圆心与AB共线

2.到哪个点近，阿圆圆心就在哪一侧,

3.圆心绝不会在线段AB内

（二）性质

性质1：阿氏圆与直线 AB 的两个交点按定比a 内分 AB 和外分 AB。

性质2：若 P 为阿氏圆上任一点，阿氏圆与直线 AB 交于M、N，则 PN，PM 分别是∠APB 内外角的平分线。

性质3：非等腰三角形ΔABC 三边上的三个阿氏圆的圆心 Oa、Ob、Oc三点共线。

性质4：

四个性质及应用具体如下图。

三、案例分析

1.如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R=OB，连接 PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。

【技巧总结】

计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：

1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

2. 计算出这两条线段的长度比

3. 在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，

4. 则，当A、P、C三点共线时可得最小值

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为__________．

四、练习题

变式练习：如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①，②，③，④的最小值.

例题2. 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点，的最小值为________.