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初中几何模型-阿氏圆数学模型(一)

英才学习2年前 (2022-10-02)初中常见模型377

初中几何模型-阿氏圆数学模型(一)

初中几何模型-阿氏圆数学模型(二)

一、定义

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”。

在“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题。


如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆。

阿氏圆.jpg

这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”。


二、特点及性质

(一)特点

1.阿氏圆圆心与AB共线

2.到哪个点近,阿圆圆心就在哪一侧,

3.圆心绝不会在线段AB内

(二)性质

性质1:阿氏圆与直线 AB 的两个交点按定比a 内分 AB 和外分 AB。

性质2:若 P 为阿氏圆上任一点,阿氏圆与直线 AB 交于M、N,则 PN,PM 分别是∠APB 内外角的平分线。

阿氏圆2.jpg

性质3:非等腰三角形ΔABC 三边上的三个阿氏圆的圆心 Oa、Ob、Oc三点共线。

性质4:

1684114054115.png

四个性质及应用具体如下图。

三、案例分析

1.如图 1 所示,⊙O 的半径为R,点 A、B 都在⊙O 外 ,P为⊙O上一动点,已知R=OB,连接 PA、PB,则当“PA+kPB”的值最小时,P 点的位置如何确定?

1664810096905.png

1664810124619.png



解决办法:如图2,在线段 OB 上截取OC使 OC=R,则可说明△BPO与△PCO相似,则有PB=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当 A、P、C 三点共线时,“PA+PC”值最小。


【技巧总结】

计算的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题:在圆上找一点P使得的值最小,解决步骤具体如下:

1. 如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB

2. 计算出这两条线段的长度比

3. 在OB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则,

4. 则,当A、P、C三点共线时可得最小值


2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点,点P是圆C上一个动点,则的最小值为__________.

1664810157304.png


四、练习题

变式练习:如图1,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点,连接AP,BP,求①,②,③,④的最小值.

1664810248810.png


例题2. 如图,点C坐标为(2,5),点A的坐标为(7,0),⊙C的半径为,点B在⊙C上一动点,的最小值为________.


1664810178018.png

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