初中数学：三角形的内切圆、外接圆、旁切圆

一、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形。

注意：

（1）一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形；

（2）三角形的内心在三角形的内部。

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；

3、三角形的内心的性质

三角形的内心到三角形三条半的距离相等，且等于其内切圆的半径。

4、三角形的内切圆的作法（如上图）

（1）画出三角形ABC的三边内角平分线（一般选择两个角即可），这三条线会在一点相交，交点为O；

（2）过交点O作AB边的垂线，交AB于点G；

（3）以交点O为圆心，OG的长为半径，作圆即可。

二、三角形的外接圆

1、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做⊙O。“接”是指三角形的三个顶点都在圆上。

2、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心；

3、三角形的外心性质

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。

4、三角形外接圆的作法（如上图）

（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点O；

（2）以该交点O为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可。

三、三角形的旁切圆

1、三角形的旁切圆

旁切圆是指跟三角形的一边及其他两边的延长线相切的圆。

2、三角形的旁心

三角形的旁切圆的圆心是三角形每一条内角平分线（所在直线）与另外两角的外角平分线相交于一点，交点就叫做旁心.

3、三角形的旁心性质

（1）旁心到三角形三边的距离相等；

（2）三角形有三个旁切圆，三个旁心，旁心一定在三角形外；

（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

4、旁切圆的作法（如上图）

（1）延长AB，AC；

（2）作∠A、∠B和∠C的外角的角平分线（一般作两个角的角平分线即可），相交于一点，为OA；（因为旁心有三个，所以这里可以作三种情况，别搞忘了）

（3）过OA作AB延长线垂线，交于点G；

（4）以OA为圆心，OAG为半径，作圆即可。

特别注意：到三角形三边所在直线距离相等的点有几个？

答案：四个。一个内心和三个旁心。