三角形重心、内心、外心、垂心、旁心（五心）定义、性质及应用

一、定义

三角形中的重心、内心、外心和垂心的定义分别是：

1.三角形3条中线的交点称为三角形的重心；

2.三角形3个内角的平分线的交点称为三角形的内心；

3.三角形3条高的交点称为三角形的垂心；

4.三角形3条边的垂直平分线的交点称为三角形的外心。

它们在三角形中的位置如下表所示：       

二、应用 

1.重心（三角形3条中线的交点称为三角形的重心）

【性质】

重心的性质：

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=3

8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。

9.G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

10.G为三角形ABC的重心,则GA²+GB²+GC²=1/3(AB²+BC²+AC²)

11.若A(x₁，y₁),B(x₂，y₂),C(x₃，y₃)，则重心G的坐标为（(x₁+x₂+x₃)/3,(y₁+y₂+y₃)/3)

表示：三角形的重心通常用字母“G”表示。

例1. 如图所示，已知G为ΔABC的重心，求证：SΔABG=S△BOG=SΔACG· 

证明：延长AG交BC于点D。

因为G为ΔABC的重心，所以BD=DC,所以

SΔABD = SΔADC =1/2 SΔABC 

SΔGBD = SΔGDC =1/2 SΔBGC

所以S△ABD-SΔGBD=SΔADC-SΔGDC

即SΔABG = SΔACG同理可得SΔABG = SΔBCG所以 SΔABG = SΔBCG = SΔACG

例2. 如图所示，如果AD为ΔABC中BC边上的中线，G为重心，GE//BC交AC于点E,若BC=8厘米，求GE.

解：因为G为重心，

所以AG/AD=2/3,    

因为AD为BC边上的中线，

所以CD=1/2BC=4, 

因为GE//BC, 

所以 GE/DC=AG/AD

所以 GE=2/3×4=8/3（厘米）。         

2.内心【性质】（三角形3个内角的平分线的交点称为三角形的内心）

（1）三角形内心与各顶点的连线分别平分三角形各内角；

（2）三角形的内心与各顶点的连线的延长线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例；

（3）三角形的内心到三角形各边的距离都相等．         

内心的点也是这个三角形内切圆的圆心，三角形内心到三角形三条边的距离相等。

表示：三角形内心通常用“I”表示。 

（4）∠BIC=90°+1/2∠A，∠AIC=90°+1/2∠B，∠AIB=90°+1/2∠C

（5）△ABC的三边为a，b，c，S是△ABC的面积，L是三角形的周长，P是三角形的周长的一半，即：

L=a+b+c,P=(a+b+c)/2，则有内切圆半径公式：

r=2S/L

r=1/p*√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

r=(a+b-c)/2（其中：△ABC为R△，a、b为直角边，c为斜边）

例3.如图所示，ΔABC中，∠A=78°,I为内心，求∠BIC的度数。

解：因为I为内心，

所以∠1= ∠2, ∠3=∠4,

又∠1+∠2+∠3+∠4=180°-∠A, 

所以∠2+ ∠3=（1800-780）/2=510 

所以∠BIC=180°-51°=129°.

例4. I是ΔABC的内心，连BI且延长BI交AC于点D,设BC=a，AC=b，AB=c，求证：BI/DI=(a+c)/b

证明：连接IC.

因为BD平分∠B,

所以DC/DA=BC/AB

即 DC/(b-DC)=a/c

所以DC=ab/(a+c)

又因为IC平分∠C

所以BI/DI=BC/DC

所以BI/DI=(a+c)/b         

3.垂心（三角形3条高的交点称为三角形的垂心）

【性质】

有关垂心的问题可以运用直角三角形或四点共圆的性质来解题。

1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

2.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

3.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）

4.等边三角形的重心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。(高中学习中常用知识）

表示：三角形的垂心通常用字母“H”表示。

例5. 如图所示，锐角三角形ABC中，∠BAC=72°,H是垂心，求∠BHC的度数。

解： 利用垂心性质，运用四点共圆性质解题。

延长BH、CH分别交AC、AB于点E、D. 

因为H为垂心，

所以CD⊥AB,  BE⊥AC,

所以A、E、H、D四点共圆，

所以 ∠DHE=180°- ∠A=108°, 

所以∠BHE=∠DHC=108°.

当ΔABC为钝角三角形时，易求∠BHC=72°.      

例6.如图所示，锐角三角形ABC中，H是垂心，延长AH,交BC于点D,交ΔABC外接圆于点E,求证：HD=DE.

证明：连接BE、BH,并延长BH交AC于点F. 

因为H是重心，

所以 BF⊥AC, AD ⊥BC, 

所以 ∠CAD= ∠CBF, 

又因为∠CAD=∠CBE,

所以∠CBE= CBF, 

又因为BD⊥HE,    

所以HD=DE.         

4.外心（三角形3条边的垂直平分线的交点称为三角形的外心）

【性质】

性质一：

1.锐角三角形的外心在三角形内；

2.直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

3.钝角三角形的外心在三角形外.

4.等边三角形外心与内心为同一点。

性质二：

5.三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。

6.O为△ABC的外心，若0°＜∠A≤90°时，则∠BOC=2∠A；若90°＜∠A≤180°，则∠BOC=360°-2∠A

7.设三角形的三边为a、b、c，周长的一半为p=(a+b+c)/2，S是三角形的面积，则三角形的外接圆半径R为：

R=（abc）/4√（p(p-a)(p-b)(p-c))=(abc)/(4S)

表示：三角形的外心通常用字母“O”表示。         

例7. 求证：由三角形任意一顶点到垂心的距离，等于外心到此顶点对边距离的2倍．      

如图所示，已知：H是ΔABC的垂心，O是ΔABC的外心，OL⊥BC,求证：OL=1/2AH

证明：

取AC、HC中点M、K,连接MK、LK、OM,

因为点L、K、M分别为BC、HC、AC的中点，

所以LK //BH, MK //AH, MK=1/2AH

又因为BH⊥AC, OM⊥AC,

所以 BH //OM, LK //OM,

同理，可得 OL//MK,

所以 四边形OLKM为平行四边形，

所以OL=MK=1/2AH.     

5.旁心（三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点）

【定义】

三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心。

它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。

【旁心的性质】

1.三角形的旁心是其一内角的平分线(所在直线)和其他两角的外角平分线的交点，每一个旁心到三边的距离相等。

2.三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来．一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。

3.一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的3个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等三个旁切圆半径之比。