高中数学：糖水不等式

一、糖水不等式定义

假如现在有一份质量为a克的糖水，其中含有b克糖（a＞b＞0），则易知糖的质量与糖水质量的比为 b/a.

若再向其中添加m克糖（m＞0），则这个比将变为

一个显然的生活常识是：在添加的糖完全溶解的情况下，糖水会变甜，即

于是我们根据这个实际背景，可以提炼出一个不等式：

这便是糖水不等式的由来.

糖水不等式具体表示形式如下：

1.糖水不等式：
设，则有：。

特例：

2.糖水不等式的倒数形式：
设，则有：。

特例：

二、糖水不等式推论

如果考虑两杯浓度不同的糖水，一杯较淡，一杯较浓，那么混合后的糖水一定是比浓的更淡，同时又比淡的更浓，这样可以得到糖水不等式的推论：

糖水不等式也可以理解为真分数的性质

对于一个真分数b/a，分子分母同时加上一个正数m，那么该分数就会变大，且所加的正数m越大，分数就越大，最终会无限趋近于1.

其中

三、怎么理解糖水不等式

现在我们用图像来理解糖水不等式

针对下面不等式

方法一（利用斜率的视角）：

方法二（利用斜率的视角）：

方法三（利用矩形面积的视角）：

四、怎么证明糖水不等式

5.构造法

五、对数型糖水不等式

1.设，且，求证：。

除了可用以上两种方法证明以外，还可用下列方法：

。

由此，我们还可得到以下三个不等式，证明方法与上面的方法一致。

2.设，且，求证：。

3.设，则有。

4.设，则有。

运用

比较大小：与;

方法1：。

方法2：。

比较大小：

（1）与;

（1）方法1：

方法2：

。

（2）