特征方程

递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使研究数列的范围大大扩展。

新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，但从近十年来高考试题中常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题来看，这一目标是否恰当似乎值得探讨，笔者以为“根据递推公式写出数列的前几项”无论从思想方法还是从培养能力上来看，都不那么重要，重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。

一阶递推

关于一阶线性递推数列： 其通项公式的求法一般采用如下的参数法， 将递推数列转化为等比数列：

对于数列 ，

设

化简得

与原递推式比较，得

将解得的t代入上式即得等比数列 ，用等比数列通项即可得出原数列 。

二阶递推

对于二阶线性递推数列，可采用特征方程法：

对于数列 ，递推公式为

其特征方程为

1、 若方程有两相异根p、q ，则

2、 若方程有两等根p ，则

其中a₁，a₂ 可由初始条件确定。

例：求斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...的通项公式

线性递推数列的特征方程为：

解得

则

因为

所以

解得：

所以

高阶递推

对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个x_n 换成x ，就是它的特征方程。

最后，上述结论在求一类数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的方法更为重要。如对于高阶线性递推数列和分式线性递推数列，也可借鉴前面的参数法，求得通项公式。