斐波那契数列

一、定义

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”。

斐波那契数列是指这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和。

在数学上，这一数列以如下递推的方法定z义：F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。

1228年的《算经》修订版上载有如下“兔子问题”：

如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄 一 雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少 对兔子呢？ 解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月： 仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子， 共有 1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔 子，共有 2+1=3 对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的 对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， ……，

后 人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契， 将这个兔子数列称为斐波那契数列， 即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34……这样的数列称为斐波那契数列。

二、性质

1.通项公式内容

⑴

如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。且由上式得到的值必为正整数。 [5]

注：此时

⑵

2.求解方法

（1）方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：

解得：

则：

由公式

得：

解得

（2）方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）

设常数，

使得

则

时，有：

联立以上个式子，得：

上式可化简得：

那么：

（这是一个以为首项、以为末项、为公比的等比数列的各项的和）。

， 的解为，

则