阿波罗尼斯圆

一、阿波罗尼斯圆定义

阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，阿波罗尼斯圆是指：已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=λ且不等于1的点P的轨迹是一个以定比λ内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆。

在初中阶段，我们了解了阿氏圆。如果想了解初中阿氏圆几何模型，可以点击下面两个链接：

初中几何模型-阿氏圆数学模型（一）：https://yc8.com.cn/wenzhang/202210/1067.html

初中几何模型-阿氏圆数学模型（二）：https://yc8.com.cn/wenzhang/202311/3302.html

根据定义得出以下的定理

二、如何求阿波罗尼斯圆轨迹曲线

如上图

在直线AB上有内分点D₁和外分点D₂，还有平面内一动点P(图中P不与A,B共线)，满足D₁A/D₁B=D₂A/D₂B=λ=PA/PB，记P到AB的距离为h，D₁到PA和PB的距离分别是h₁和h₂，则有D₁A/(D₁B)=(0.5D₁A.h)/(0.5D₁.B.h)=S△AD₁P/S△BD₁P=λ=PA/PB，且S△AD₁P/S△BD₁P=(0.5PA.h₁)/(0.5PB.h₂)，对照知h₁=h_2，这意味着PD₁平分∠APB。同理可知，PD₂平分∠APB的外角，那么有∠D₁PD₂=1/2x180°=90°

这时得出结论：当P在直线AB外时，P的轨迹在以DDz为直径的图上。

当P在直线AB上时，P即为点D₁,D₂。

综上，满足PA/PB=λ,且λ≠1的点的轨迹是一个以D₁D₂为直径的圆。

D₁A/D₁B=D₂A/D₂B=λ=PA/PB，这个（A,B,D₁,D₂）正好符合调和点列性质，具体调和点列可以查看后面链接：https://yc8.com.cn/wenzhang/202409/4373.html

三、阿波罗尼斯圆的性质

若PA/PB=λ，当λ=1时，P在AB的中垂线上；当λ≠1时，P在一个圆上。

现在记圆的圆心为Q，半径为r，AB=d，有以下结论：

结论一：Q一定在直线AB上，且在线段AB外(或者说AB的正反方向延长线)

结论二：若λ>1，则Q离A远，高B近(在AB的延长线上)；若0<入<1，则Q离A近，高B远(在BA的延长线上)。

结论三：

结论四：圆心位于线段AB按定比λ分割的内分点和外分点的连线上，且圆的直径等于MN，其中MN是线段AB按定比λ分割的两个分点之间的线段长度。

结论五：阿波罗尼斯圆上任意三点确定的三角形面积比是一个常数λ。

结论六：阿波罗尼斯圆与三角形的中线长度有关，中线长度平方等于其对应两边长度平方的平均值减去第三边长度平方的一半。

四、阿波罗尼斯圆的应用

阿波罗尼斯圆在几何学中有着广泛的应用，它与三角形的中线有着密切的关系。根据阿波罗尼斯定理，三角形的中线长度可以由三边的长度来表示，即三角形的中线长度平方等于其对应两边长度平方的平均值减去第三边长度平方的一半。这个关系式可以通过余弦定理和勾股定理来证明。