高中数学：定比分点

设坐标轴上有向线段AB的起点A和终点B的坐标分别为x₁ 和x₂，分点M分AB 的比为λ ，那么，分点M的坐标

特殊地：

设坐标轴上线段AB的端点A和B的坐标分别为x₁ 和x₂， 那么线段AB的中点的坐标 (x₁+x₂)/2

二、点差法

点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。

若点在有心二次曲线

上，则有

两式作差得

此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．

1、弦的中点

点差法一个妙用：

例1 已知椭圆  ，直线 AB交椭圆于 A,B 两点，M 为 AB 的中点，求证： k_AM.k_OM 为定值。

分析 用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。

解 设 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₀,y₀)

 A，B在椭圆上：  

作差得： 

即： 

， 

因为 

所以 为定值。

以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候， a=b，则  ，  ，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中 同样有类似的结论，但定值为 b²/a² ，在这里就不再推导了。

2、弦上的定比分点

当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：

设  ，  ，  ，则 M 点坐标可以表示为：

， 

证明 设 M(x,y),x-x₁=λ(x₂-x) ，化简可得：

 ， 

这时候就出现了 x₁+λx₂ 这样形式的式子。

如果再凑出  x₁-λx₂  ，可能大家就会有点感觉了：

可以将椭圆的方程乘上一个 λ² 再作差，得到这样的式子。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆  ， p(x₀,y₀) 在椭圆外，过P 作直线 AB 交椭圆于A ,B 两点，M 在线段 AB 上且满足：  ，求证：点 M 在定直线上。

分析 按照以上思路，要出现  x₁-λx₂和  x₁+λx₂ 这样的式子，很容易想到设 A,B 的坐标，再表示出 P,M 的坐标。

解 设   ，   ，  ，

则  ，结合图形得： 

则  ， 

A,B 在椭圆上：

  ①， 

 ②

 得： 

即 

，所以 M在定直线  上。

下面介绍定比点差法：

若点在有心二次曲线上，则有

两式作差得

这样就得到了

例7、过异于原点的点引椭圆

的割线PAB，其中点A,B在椭圆上，点M是割线PAB上异于P的一点，且满足．求证：点M在直线上．

证明：直接运用定比点差法即可．

设

，则有

，设

，则有

又因为点A,B

在椭圆上，所以有

两式作差得

两边同除以

，即可得到

命题得证．

例8、已知椭圆，过定点P(0,3)的直线与椭圆交于两点A,B,(A,B可以重合），求的取值范围．

解析：设

，

，则．

于是

，于是

又因为点A,B

在椭圆上，所以有

两式相减得

将(1)代入(2)中得到

由(1)(3)解得

从而解得λ的取值范围为

，于是的取值范围为．

例9、设F₁(-c,0),F₂(c,0)为椭圆

的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，直线PF₁,PF₂分别交椭圆于异于P的点A、B,

若，，

求证：．

证明：设，，

，则

于是有

又由点P,A在椭圆上得到

两式相减得

从而有

结合(4)式可解得

同理可得

结合(5)式得到

于是有

整理得，命题得证．

例10、已知椭圆，点P(4,0)，过点P作椭圆的割线PAB,C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．

解析：因为A,B,P三点共线，A,C,M三点也共线，且A,B,C三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．

设，，则，

设AC与x轴的交点为，

，

，则

于是有

由点A,B在椭圆上得

两式相减得

将(2)代入(3)得