有关向量的数量三重积（混合积）

一、定义

数量三重积(scalar triple product)亦称混合积，三个向量的一种乘法运算的结果。对于空间的三个向量a，b，c，数量(a×b)·c称为向量a，b，c的数量三重积。

几何上，混合积的绝对值表示以a，b，c为棱的平行六面体的体积。若在平行六面体的同一顶点上的三条棱之间规定好一个顺序(a，b，c)，则称这个平行六面体的定向为(a，b，c)，于是混合积(a×b)·c称为这个定向平行六面体的有向体积。(a×b)·c>0时成右手系，(a×b)·c<0时成左手系.(a×b)·c=0时，三个向量a，b，c共面。

已知a、b、c三个向量，则a×b=d为一个向量，因此(a×b)·c=d·c是一个数量，于是有

定义 两个向量先矢乘，再与另一向量数乘，所得的结果称为数量三重积或者混合积。

二、混合积有下列公式：

1.轮换混合积的三个因子，混合积的值不变；交换任何两个因子，混合积变号。

2.(a×b)·c=a·(b×c)。因此a，b，c的混合积亦记为(abc)或(a，b，c)。

3.(a×b)·(c×d)=[(a×b)×c]·d=(拉格朗日公式)，特别地，(a×b)²=a²b²-(a·b)²。

4.(a×b，b×c，c×a)= (a b c)²=

三、相关定理、推论

定理1：当三个非零向量a、b、c成右手系时，则数量三重积(a×b)c为正，否则为负。又此乘积的绝对值是以a、b、c为棱所构成的平行六面体的体积 [2]。

推论1 (a, a, c)=0. 

这是因为a×a=0。

推论2(a，b，c)=-(b，a， c). 

这是因为a×b=-(b×a).

推论3 (a+a', b, c)=(a,b,c)+(a', b, c). 

证明(a+a',b, c)=[(a+a')×b]c

=(a×b+a'×b)c

=(a×b)c+ (a'×b)c:

=(a, b, c)+(a', b, c).

推论4 (ma, b, c)=m(a, b, c).

证明 (ma, b, c)= (maxb)c= [m(a×b)]c

=m[(a×b)c]=m(a, b, c).

定理2：三个向量中如果有一个为零，或者两个共线，或者三个共面，则其数量三重积必是零，反过来也成立。

定理3：假定三个非零向量中没有两个共线，则共面的充要条件是其数量三重积为零 [2]。