向量的向量积

一、定义

向量积（两个向量的叉乘），数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量，并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

二、表示方法

两个向量a和b的叉积写作a×b。

三、相关定义

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

也可以这样定义（等效）：

向量积：|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

方向判定：

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断。判断方法如下：
1.右手手掌张开，四指并拢，大拇指垂直于四指指向的方向；
2.伸出右手，四指弯曲，四指与A旋转到B方向一致，那么大拇指指向为C向量的方向。

总结就是：
假如 向量a 为（x1, y1），向量b为(x2, y2)
叉积（也叫外积）的模为a x b = x1 * y2 - x2 * y1 = |a||b| sin<a,b>，可以理解为平行四边形的有向面积（三维以上为体积）。外积的方向垂直于这两个方向。

四、向量点乘和向量叉乘的区别

向量点乘和向量叉乘的区别如下：

1.点乘结果是一个标量，而叉乘结果是一个向量。

2.点乘满足交换律，而叉乘满足反交换律。

3.点乘可用于计算向量之间的夹角、投影和长度；叉乘可用于计算法向量、面积和判断线性方向。

这两种运算在数学、物理、计算机图形学和工程等领域都有广泛的应用，它们在解决实际问题时发挥着重要作用。

（一）向量点乘

向量点乘是两个向量按照对应分量相乘然后求和的运算。设有两个向量A和B，分别为A = (A1, A2, A3) 和 B = (B1, B2, B3)，那么它们的点乘结果是一个标量：A · B = A1 * B1 + A2 * B2 + A3 * B3

向量点乘具有以下特点：

1.向量点乘结果是一个标量

2.

满足交换律：A · B = B · A

满足分配律：A · (B + C) = A · B + A · C

3.点乘的应用：

计算向量之间的夹角：若A和B的点乘为0，则它们垂直；若A和B的点乘大于0，则夹角小于90度；若A和B的点乘小于0，则夹角大于90度。

计算向量的长度：一个向量与自身的点乘等于其长度的平方，即‖A‖² = A · A。

计算投影：一个向量在另一个向量上的投影长度可以通过点乘计算。

（二）向量叉乘

向量叉乘是两个向量按照特定规则相乘，其结果是一个新向量。设有两个向量A和B，分别为A = (A1, A2, A3) 和 B = (B1, B2, B3)，那么它们的叉乘结果是一个向量：A x B = (A2 * B3 - A3 * B2, A3 * B1 - A1 * B3, A1 * B2 - A2 * B1)

向量叉乘具有以下特点：

1.向量叉乘结果是一个向量

2.

满足反交换律：A x B = - (B x A)

满足分配律：A x (B + C) = A x B + A x C

不满足结合律：(A x B) x C ≠ A x (B x C)

3.叉乘的应用：

计算法向量：叉乘的结果向量垂直于原始向量A和B，可用于计算平面或多边形的法向量。

计算面积：两个向量的叉乘长度等于构成平行四边形的两边对应的向量所围成的平面区域的面积。

判断线性方向：叉乘的结果向量可以用来判断两个向量的相对方向。如果A x B的结果向量指向上，则A相对于B是逆时针旋转；如果结果向量指向下，则A相对于B是顺时针旋转。这在计算机图形学和几何计算中非常有用。