初中数学：图形折叠问题

题型一：折叠求长度问题

例题1：动手操作：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动．求：（1）当点Q与点D重合时，A′C的长是多少？（2）点A′在BC边上可移动的最大距离是多少？

分析：（1）画出图形，根据折叠的性质得出A1'D=AD=5，在RT△A1DC中利用勾股定理即可得出答案．（2）找出两个极值点的位置，然后即可判断点A'的移动范围，继而可得出答案．

本题考查了动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，单凭想象会造成错误。

例题2：如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边上的点F处．已知BC＝10cm，AB＝8cm，（1）EC的长；（2）AE的长．

分析：首先根据勾股定理求出BF的长，借助翻转变换的性质及勾股定理求出DE的长即可解决问题。

该命题考查了翻转变换及其应用问题；解题的关键是借助翻转变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析与判断、推理或解答。

02题型二：折叠求面积问题

例题3：已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）

分析：根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．

此题考查了折叠的性质以及勾股定理，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键。

例题4：如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）的面积．

分析：利用勾股定理求出CD=6，所以阴影部分面积为1/2×CD×AC，求出即可．

此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出BD=B′D=16-x，B′C=8是解题关键。

03题型三：方程思想

例题5：在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．

分析：（1）如图（1），设CE=x,则BE=8-x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．（2）如图（2），首先求出CB′=3；类比（1）中的解法，设出未知数，列出方程即可解决问题．

该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答。

04题型四：旋转问题

例题4：如图，点O是等边△ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．（1）求证：△BCO≌△ACD．（2）若OA=10，OB=8，OC=6，求∠BOC的度数．

分析：（1）根据SAS证明三角形全等即可．（2）证明△ODC是等边三角形，∠ADO=90°，推出∠ADC=150°，再利用全等三角形的性质，可得结论．

本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明∠ADC=90°。