高中数学：凸函数、凹函数
高中数学：凸函数、凹函数
一、定义
我们看两个指数和对数函数图像，就可以发现这两个图像的不同。
很容易发现，指数函数的图像是向下凹，而对数函数的图像是向上凸起的，这两个图像的不同就给我们指出一个新的函数性质——凹凸性。
一般地：
向下凹陷的函数，我们称之为凸函数；向上凸起的函数，我们称之为凹函数。
这个直觉有点数学怪异，明明是凹下去的函数，却称为凸函数，不要打我，不是我给的定义，数学佬只是数学的搬运工。还好，数学上这种反人性的定义不多，记住就好了。也有的数学家建议这样的提法：
向下凹陷的函数，称之为下凸函数；向上凸起的函数，称之为上凸函数。
注意：凹凸性，各个教材定义可能会有偏差，具体以教材中的定义为准。
二、函数图像及其性质
定义:设f(x)在区间(a,b)上有定义，∀ x1,x2 ∈(a,b)，λ∈(0,1) 有f(λx1+(1-λ)x2)<λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上是凸函数
对于凸函数：x1,x2是定义域内任意点，ax1+(1-a)x2就是区间(x1,x2)上任意一点，那么：f(λx1+(1-λ)x2)<λf(x1)+(1-λ)f(x2)
同样，
特殊地：f(x1/2+x2/2)<(f(x1)+f(x2))/2，具体如下图：
三、凸函数性质和推论
1.性质:
对于凸函数f(x),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，x1<x3<x2，则kAC<kAB<kBC
证明如下：
2.推论
推论1：
推论2：
推论3：若函数f(x)为凸函数，则f(x)的图像一定在它的切线之上。
四、凸函数的判定
设函数f(x)在区间(a,b)上有导数，若f'(x)递增，则(x)是凸函数
设函数f(x)在区间(a,b)上有二阶导数，若f"(x)>0，则f(x)是凸函数
五、例题
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