当前位置:首页 > 高中数学 > 函数 > 正文内容

导数与函数的单调性

英才学习3个月前 (05-06)函数454

导数与函数的单调性

一、导数与函数的单调性

导数与函数的单调性之间有密切的关系。

如果函数在某个区间上的导数始终为正,即导数大于零,则这个函数在该区间上是递增的(单调递增)。这意味着函数的值随着自变量的增加而增加。

相反,如果函数在某个区间上的导数始终为负,即导数小于零,则这个函数在该区间上是递减的(单调递减)。这意味着函数的值随着自变量的增加而减小。

另外,如果函数在某个区间上的导数恒为零,则函数在该区间上是常数函数(单调不变)。

需要注意的是,导数为零并不意味着函数一定是单调的。在导数为零的点处,函数可能存在极值点,即局部最大值或最小值。此外,导数不存在的点处也可能存在函数的极值点。

因此,通过对函数的导数进行研究,可以推断函数的单调性和极值点的位置。


图片

从上面的动图不难看出:

在单调增区间内,以图像上任意一点为切点的切线斜率均为正数,也即导数值为正。

从下面的动图不难看出:

在单调减区间内,以图像上任意一点为切点的切线斜率均为负数,也即导数值为负。


对于可导函数y=f(x):

如果在某个区间(a,b)内f'(x) > 0 ,则函数f(x)在该区间内单调递增;

如果在某个区间(a,b)内f'(x) < 0 ,则函数f(x)在该区间内单调递减。

若y =f(x)在区间(a, b)内可导:

f'(x) ≥0是函数单调递增的充要条件;

f'(x)≤0是函数单调递减的充要条件。


二、函数单调性(上凸、下凹和直线型)判断

相同的单调性,从图像上看还是有区别的,有上凸、下凹和直线型三种类型。其实,这三种不同形式反映的,是随着自变量的变化,函数值改变的速度快慢的不同。

上凸反映的是先快后慢。

下凹反映的是先慢后快。


那么在已知函数单调性的情况下,如何来判断上凸、下凹和直线型三种类型呢?


其实,从动图中我们也不难看出:

在上凸的区间内,随着切点横坐标的增大,切线的斜率越来越小;

在下凹的区间内,随着切点横坐标的增大,切线的斜率越来越大。

由于切线斜率是函数在切点处的导数,所以:

下凹的曲线弧,导函数是单调递增的,

上凸的曲线弧,导函数是单调递减的。

由此可见,函数图像的凹凸性,可以用导函数f'(x)的单调性来描述,而 f'(x)的单调性又可以用它的导数,也就是函数 f(x)的二阶导数 f''(x)来确定.

于是,我们就有了下面的结论:

设函数y = f(x)在(a,b)内具有二阶导数.

(1)如果在(a,b)内,f"(x)>0,那么曲线在(a,b)内是凹的;

(2)如果在(a,b)内,f"(x)<0,那么曲线在(a,b)内是凸的。

三、从凹凸到拐点

连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫做函数的拐点。

我们知道由f"(x)的符号可以判定曲线的凹凸:

如果f"(x)连续,那么当f"(x)的符号由正变负或由负变正时,必定有一点x0使 f"(x0)=0。

这样,点(x0,f(x0))就是曲线的一个拐点,因此,如果y=f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数,我们就可以按下面的步骤来判定曲线y=f(x)的拐点:

1.确定函数y=f(x)的定义域;

2.求y"= f"(x); 令f"(x)=0,解出这个方程在区间(a,b)内的实根;

3.对解出的每一个实根x0,考察f"(x)在x0的左右两侧邻近的符号.如果f"(x)在x0的左右两侧邻近的符号相反,那么点(x0,f(x0))就是一个拐点,如果f"(x)在x0的左右两侧邻近的符号相同,那么点(x0,f(x0))就不是拐点。


拐点存在的必要条件:

若函数f(x)在x0处的二阶导数存在,且点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点,则f"(x0)=0。


扫描二维码推送至手机访问。

特别声明:

本站属于公益性网站,纯粹个人原因(陪孩子学习便于查询和教授),网站部分内容收集于网络,仅供学生和老师参考、交流使用,请勿用作其他商业收费用途

如果网站内容能给你带来提升,那便是我经营此网站的初衷。网站相关内容如有问题,请及时提出,我在此谢谢!

本站尊重原创并对原创者的文章表示肯定和感谢,如有侵权请联系删除!针对本站原创内容,本站也欢迎转载,如需转载请注明出处。

本文链接:https://yc8.com.cn/wenzhang/202405/4212.html

分享给朋友:

“导数与函数的单调性” 的相关文章

发表评论

访客

看不清,换一张

◎欢迎参与讨论,请在这里发表您的看法和观点。