导数与函数的单调性

一、导数与函数的单调性

导数与函数的单调性之间有密切的关系。

如果函数在某个区间上的导数始终为正，即导数大于零，则这个函数在该区间上是递增的（单调递增）。这意味着函数的值随着自变量的增加而增加。

相反，如果函数在某个区间上的导数始终为负，即导数小于零，则这个函数在该区间上是递减的（单调递减）。这意味着函数的值随着自变量的增加而减小。

另外，如果函数在某个区间上的导数恒为零，则函数在该区间上是常数函数（单调不变）。

需要注意的是，导数为零并不意味着函数一定是单调的。在导数为零的点处，函数可能存在极值点，即局部最大值或最小值。此外，导数不存在的点处也可能存在函数的极值点。

因此，通过对函数的导数进行研究，可以推断函数的单调性和极值点的位置。

从上面的动图不难看出：

在单调增区间内，以图像上任意一点为切点的切线斜率均为正数，也即导数值为正。

从下面的动图不难看出：

在单调减区间内，以图像上任意一点为切点的切线斜率均为负数，也即导数值为负。

对于可导函数y=f(x):

如果在某个区间(a,b)内f'(x) > 0 ，则函数f(x)在该区间内单调递增;

如果在某个区间(a,b)内f'(x) < 0 ，则函数f(x)在该区间内单调递减。

若y =f(x)在区间(a, b)内可导:

f'(x) ≥0是函数单调递增的充要条件;

f'(x)≤0是函数单调递减的充要条件。

二、函数单调性（上凸、下凹和直线型）判断

相同的单调性，从图像上看还是有区别的，有上凸、下凹和直线型三种类型。其实，这三种不同形式反映的，是随着自变量的变化，函数值改变的速度快慢的不同。

上凸反映的是先快后慢。

下凹反映的是先慢后快。

那么在已知函数单调性的情况下，如何来判断上凸、下凹和直线型三种类型呢？

其实，从动图中我们也不难看出：

在上凸的区间内，随着切点横坐标的增大，切线的斜率越来越小；

在下凹的区间内，随着切点横坐标的增大，切线的斜率越来越大。

由于切线斜率是函数在切点处的导数，所以：

下凹的曲线弧，导函数是单调递增的，

上凸的曲线弧，导函数是单调递减的。

由此可见，函数图像的凹凸性，可以用导函数f'(x)的单调性来描述，而 f'(x)的单调性又可以用它的导数，也就是函数 f(x)的二阶导数 f''(x)来确定.

于是，我们就有了下面的结论：

设函数y = f(x)在(a,b)内具有二阶导数.

(1)如果在(a,b)内，f"(x)>0，那么曲线在(a,b)内是凹的；

(2)如果在(a,b)内，f"(x)<0，那么曲线在(a,b)内是凸的。

二阶导数含义

定义1:若函数f(x)的导函数f'(x)在点x=x₀处可导，则称f(x)在点x=x₀的导数为f(x)在点x=x₀的二阶导数,记作f"(x),同时称f(x)在点x=x₀为二阶可导,

定义2:若 f(x)在区间M上每一点都二阶可导，则得到一个定义在M上的二阶可导函数，记作f"(x),x∈M，x∈I

(二)函数极值的第二判定定理:

若 f(x)在x=x₀附近有连续的导函数f"(x)，且f'(x₀)=0，f"(x₀)≠0

(1)若f"(x)<0,则f(x)在点x处取极大值:

(2)若f"(x)>0,则 f(x)在点x处取极小值

(三)曲线的凹凸性

设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的，

如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,6)内是凸的。

三、从凹凸到拐点

连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫做函数的拐点。

我们知道由f"(x)的符号可以判定曲线的凹凸：

如果f"(x)连续，那么当f"(x)的符号由正变负或由负变正时，必定有一点x₀使 f"(x₀)=0。

这样，点(x₀,f(x₀))就是曲线的一个拐点，因此，如果y=f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线y=f(x)的拐点：

1.确定函数y=f(x)的定义域；

2.求y"= f"(x); 令f"(x)=0，解出这个方程在区间(a,b)内的实根；

3.对解出的每一个实根x₀，考察f"(x)在x₀的左右两侧邻近的符号.如果f"(x)在x₀的左右两侧邻近的符号相反，那么点(x₀,f(x₀))就是一个拐点，如果f"(x)在x₀的左右两侧邻近的符号相同，那么点(x₀,f(x₀))就不是拐点。

拐点存在的必要条件：

若函数f(x)在x₀处的二阶导数存在，且点(x₀,f(x₀))为曲线y=f(x)的拐点，则f"(x₀)=0。