指数、对数函数放缩
指数、对数函数放缩
一、指数放缩
（一）放缩成一次函数
1.ex ≥ x+1 >x （当且仅当x=0取等号）
2.ex ≥ ex （当且仅当x=1取等号）
图像如下：
证明步骤如下：
1.
证明：
设f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1
令f'(x)=0得：x=0
所以x ∈ (-∞,0)时，f'(x) < 0,f(x) 单调递减；
x ∈ (0，+∞)时，f'(x) > 0, f(x)单调递增；
故f(x)min = f(0) = 0, 所以 f(x) =ex-x-1≥0，
即ex≥x+1,又x+1>x，
因此ex≥x+1>x(仅当x=0取等号)。
2.
证明：
将x-1代入不等式ex≥x+1得：
ex-1 ≥(x-1)+1=x，
两边再同时乘以e即可得到ex≥ ex，仅当x-1=0，即x=1时取等号。
（二）放缩成反比例函数
3.ex ≤ 1/(1-x) (x<1) （当且仅当x=0取等号）
4.ex < -1/x (x<0)
图像如下：
证明步骤如下：
3.
证明：将-x代入不等式 ex≥x+1得:e-x≥-x+1
令-x+1>0,即x<1，
再让不等号两端同时乘以ex、同时除以1-x，不等号方向不变；
即得ex≤1/(1-x) ，当且仅当 -x=0，即x=0取等号;
4.
证明：当x<0时，1-x>-x>0，所以1/(1-x)<1/(-x)
由ex≤1/(1-x) (x<1) 得 ex≤1/(1-x) <-1/x
（三）放缩成高次幂函数
5.ex ≤ 1+x+1/2.x2 (x≤0) （当且仅当x=0取等号）
6.ex ≥ 1+x+1/2.x2 (x≥0) （当且仅当x=0取等号）
同样：ex ≥ 1+x+1/2.x2+1/6.x3 (x≥0) （当且仅当x=0取等号）
其实该类高次冥函数可以通过ex的泰勒展开式具体形式，具体见下图：
5.6公式证明如1证明，这边就不再进行。
二、对数放缩
（一）放缩成一次函数
1.lnx ≤ x-1 <x （当且仅当x=1取等号）
2.ln(x+1) ≤ x （当且仅当x=0取等号）
3.lnx ≤ x/e （当且仅当x=e取等号）
具体函数图像如下：
证明方法如下：
证明: 因为ex≥x+ 1，所以对不等式两边取对数即可得lnex=x ≥ ln(x+1)；
取等号的条件与不等式ex≥x+1相同，即当x=0取等号，这样2即可证明。
令x=x-1得x -1 ≥ ln(x)，这样1即可证明。
令x=x/e得ln(x/e)≤x/e-1，移项得lnx≤x/e，这样3即可证明。
（二）放缩成双撇函数
4.lnx ≥ 1/2(x-1/x) （0<x≤1）（当且仅当x=1取等号）
5.lnx ≤ 1/2(x-1/x) （x≥1）（当且仅当x=1取等号）
图像如下：
6.lnx ≥ √x-1/√x （0<x≤1）（当且仅当x=1取等号）
7.lnx ≤ √x-1/√x（x≥1）（当且仅当x=1取等号）
图像如下：
（三）放缩成反比例函数
8.lnx ≥ 1-1/x （x>0）（当且仅当x=1取等号）
图像如下：
9.xlnx ≥ x-1 （当且仅当x=1取等号）
图像如下：
10.ln(x+1) ≥ x/(1+x) （x>-1）（当且仅当x=0取等号）
图像如下：
11.lnx ≤ 2(x-1)/(x+1) （0<x≤1）（当且仅当x=1取等号）
12.lnx ≥ 2(x-1)/(x+1) （x≥1）（当且仅当x=1取等号）
图像如下：
13.ln(x+1) ≤ 2x/(x+2) （-1<x≤0）（当且仅当x=0取等号）
14.ln(x+1) ≥ 2x/(x+2) （x≥0）（当且仅当x=0取等号）
图像如下：
（三）放缩成高次幂函数
15.lnx ≤ x2-x （当且仅当x=1取等号）
16.lnx ≤ 1/2(x2-1) （当且仅当x=1取等号）
图像如下：
17.ln(1+x) ≤ x-1/2x2（-1<x≤0）（当且仅当x=0取等号）
18.ln(1+x) ≥ x-1/2x2（x≥0）（当且仅当x=0取等号）
图像如下：
三、指数对数混合放缩
1.ex - lnx ≥ (x+1)-(x-1)=2
2.ex + (1-e)x ≥ xlnx+1 （当且仅当x=1取等号）
3.xex ≥ x+lnx+1
4.ex + exlnx ≥ ex2（当且仅当x=1取等号）
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