等角线

一、等角线的定义和性质‌

等角线（Equiangular Line）是一个‌数学用语‌，通常在数学上这样表示：在△ABC中，在线段BC上取P、Q，使得∠BAP=∠CAQ，则称AP、AQ为△ABC中的等角线。等角线是空间中通过一个点的线，其对角都是相等的。

等角线定理在‌图论和其他数学领域有重要应用。例如，在二维空间中，等角线的数量最多为3条，而在三维空间中，等角线的数量最多为6条。

二、三角形等角线

性质一：

在△ABC中，在线段BC上取P、Q，使得∠BAP=∠CAQ，则称AP、AQ为△ABC中的等角线。

对于△ABC，和线段BC上两点P、Q，若AP、AQ为△ABC中的等角线，则有

‌等角线定理‌的定理内容为：在△ABC中，若AP和AQ是△ABC的等角线，即∠BAP=∠CAQ，则有公式AB²÷AC²=(BP×BQ)÷(CP×CQ)。

证明

分别对△ABQ，△ABP，△ACP，△ACQ使用正弦定理知：

前两个式子相乘，除以后两个式子，将相等的角约去，即可获得结论。

性质二：

如图1，O为△ABC的外心，直线EFG是圆上一点D关于△ABC的西姆松线

（关于西姆松线参照西姆松定理）。AP，AQ为等角线，则AQ ⊥ EF

证明

∵ DF⊥ BCDG ⊥ AC

∴ D，F，G，C四点共圆

因此 ∠AGF= ∠FDC = 90° - ∠FCD = 90° -∠BAD = 90° - ∠CAQ

从而 ∠ATG = 90°即 AQ ⊥ EF

三、完全四边形等角线定理

（一）定义

完全四边形等角线定理（Theorem of Congruent Diagonals of a Quadrilateral）是一个英国数学家John Case（1694—1761）发表的一个定理；它推测在完全四边形（complete quadrilateral）中，对角线的大小一定是相等的，并且这个定理可以套用到任何多边形中。

两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形。

如图，直线ABC、BDE、CDF、AFE两两相交于A、B、C、D、E、F六点，即为完全四边形ABCDEF。

图形中包含了凸四边形、凹四边形、还有折四边形以及四个三角形。如图一中有凸四边形ABDF、凹四边形ACDE、还有折四边形BCFE，以及四个三角形△ACF、△BCD、△DEF、△ABE。

完全四边形指欧氏平面内无三线共点的四条直线两两相交所构成的四条边和六个点组成的图形。其中，无公共边的任意一对点叫做对顶点，对顶点的连线叫做完全四边形的对角线。

或者我们把两两相交,且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形。

完全四边形等角线定理：

设C，D是角AOB平面上两点，直线AC与BD交于E，直线AD与 BC交与 F，则当 OC与OD是角 AOB的两条等角线时，那么 OE与 OF也是角 AOB的两条等角线。

完全四边形性质：

1.完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割(两点内分与外分间一线段成同一比值，称这两点调和分割这一线段)。

2.过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行对角线的同一端点所在的边(或其延长线)相交，所得线段被此对角线所在直线的交点平分。

3.在完全四边形ABCDEF中，四边形ABDF有内切圆的充分必要条件是△ACD与△ADE的内切圆相外切。

4.完全四边形ABCDEF的三条对角线AD、BF、CE的中点M、N、P共线（即牛顿线）。

5.完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上。

6.完全四边形的垂足线与牛顿线垂直(两圆连心线垂直于公共弦)。

7.完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆．这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上，且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等。 [3]

8.在完全四边形ABCDEF中，四边形ABDF(在∠BAF内)有旁切圆的充分必要条件是下列两条件之一：

1)AB+BD=AF+FD；2)AC+CD=AE+ED。