等差幂线
等差幂线
一、等差幂线的定义和性质
等差幂线是一个定理，即两条直线垂直的一个充要条件，指PM⊥AB的充要条件是AP ²-AM² =BP² -BM²。
二、证明
PM⊥AB的充要条件是AP ²-AM ² =BP ² -BM ²。
证明：
必要性：
AP ² - AN ² = PN ²；
AM ² - AN ² = MN ²．
以上两式相减得 AP ² - AM ²=PN ² - MN ²①
同理， BP ² - BM ² = PN ² - MN ²．②
由式①、②得 AP ² - AM ² = BP ² - BM ² ．
充分性：
设∠ANP=α，则∠BNP=π-α．
故AP ² - AM ²
= AN ² + PN ² - 2AN·PN·cosα+2AN·MN·cosα - AN ² - MN ²
= PN ² - MN ² - 2AN·PN·cosα+2AN·MN·cosα．
BP ² - BM ²
= PN ² + BN ² - 2PN·BN·cos(π - α) - MN - BN² + 2MN·BN·cos(π - α)．
= PN ² - MN ² + 2PN·BN·cosα - 2MN·BN·cosα．
于是 PN² - MN² - 2AN·PN·cosα+2AN·MN·cosα = PN² - MN² + 2PN·BN·cosα - 2MN·BN·cosα，
即 2AN·MN·cosα - 2AN·PN·cosα = 2PN·BN·cosα - 2MN·BN·cosα，
即 MN(AN + BN)cosα= PN(AN + BN)cosα．
从而，(PN - MN) cosα=0，即PM cosα=0．
因此，cosα=0．
又因为0 ＜ α ＜ π，所以α= π/2．
故PM⊥AB．
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