初中数学：几何-一线三等角模型

一、定义

一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。也称为“K字模型”或“M形图”。

二、模型

（一）【全等型一线三等角】

如图，由∠1=∠2=∠3且PC=PD,易得△ACP≌△BPD

（1）同侧

（2）异侧 

（二）【相似型一线三等角】

如图，由∠1=∠2=∠3,易得△ACP∽△BPD

（1）同侧

（2）异侧

、

三、性质

1.一般情况下，如上图，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。（若CE=ED，则△AEC≌△BDE）

3.中点型“一线三等角”

如右上图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“一线三等角”的各种变式

四、具体应用

1.中点型“一线三等角”

如图，当∠1=∠2=∠3，且P是AB中点时，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.

2.等腰型“一线三等角”

如图，当∠1=∠2=∠3，且△CPD是以P点顶点的等腰三角形 ，则有△ACP≌△BPD

3.“一线三等角”的各种变式

（1）以等腰三角形为背景

（2）以等边三角形为背景

（3）以等腰直角三角形为背景

（4）以四边形（常见于正方形、梯形）为背景

下面以等腰三角形为例进行说明

具体应用分下面4种情况：

1.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

2.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题；

3.图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角” 利用模型解题；

4. 图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。

体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角或知道该角的三角函数值时，通常需要常构造“一线三等角”来解题.

在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.

构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。具体如下图：