初中几何：托勒密定理
初中几何：托勒密定理
一、托勒密(Ptolemy)定理
托勒密(Ptolemy)定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
如上图：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则AC·BD=AB·CD+AD·BC（托勒密(Ptolemy)定理具体表现形式）。
二、托勒密(Ptolemy)定理证明
托勒密(Ptolemy)定理证明如下：
证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，
易证△AEB∽△ADC，
∴AB:AC=BE:CD，即AC·BE=AB·CD，
当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，
易证△ABC∽△AED，
∴AD:AC=DE:CB，即AC·DE=AD·BC，
∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC，
∴AC·BD=AB·CD+AD·BC．
三、托勒密(Ptolemy)定理相关二级结论
1.托勒密不等式：对于任意凸四边形ABCD，AC·BD≤AB·CD+AD·BC
2.△ABC是等边三角形
当△ABC是等边三角形时，
如下图，当点D在弧AC上时，
根据托勒密定理有：AC·BD=AB·CD+AD·BC，
又等边△ABC有AB=AC=BC，
故有结论：BD=AD+CD．
3.△ABC是等腰直角三角形
当△ABC是等腰直角三角形，
如图3，当点D在弧BC上时，
根据托勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，
又AB:AC:BC=1:1:√2，
代入可得结论：√2AD=BD+CD
4.△ABC是一般三角形
当△ABC是一般三角形时，
若记BC：AC：AB=a：b：c，
根据托勒密定理
可得：a·AD=b·BD+c·CD
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