初中数学：苏教版九年级上册圆的知识点

一、圆

1.圆：在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的的图形叫做圆。
   圆心：点O叫做圆心；
   半径：线段OP叫做半径。

2.点与圆的位置关系：

如果圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆内，则d<r；

点P在圆上，则d=r；

点P在圆外，则d>r。

3.弦：连接圆上任意两点的线段。

   直径：经过圆心的弦。

   弧：圆上任意两点间的部分，用符号“⌒”表示。

4.优弧：大于半圆的弧。

   劣弧：小于半圆的弧。

5.圆心角：顶点在圆心的角。

初中几何：圆心角、圆周角、圆切角、弦切角，可以点击后面链接查看：https://yc8.com.cn/wenzhang/202306/2876.html

6.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆。

   等圆：能够互相重合的两个圆。

   等弧：能够互相重合的弧。

7.同圆或等圆的半径相等。

二、圆的对称性

1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

3.在同圆或等圆中，如果两个同心角、两条弧、两条弦有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等。

4.同心角的度数与它所对的弧的度数相等。

5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

6.垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

三、确定圆的条件

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.三角形的三个顶点确定一个圆。这个圆叫做三角形的外接圆。这个三角形叫做圆的内接三角形。

三角形重心、外心、内心、垂心、旁心性质及交于一点证明，可以点击后面链接查看：https://yc8.com.cn/wenzhang/202212/2563.html

3.外接圆的圆心叫做三角形的外心。

四、圆周角

1.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

初中几何：圆心角、圆周角、圆切角、弦切角，可以点击后面链接查看：https://yc8.com.cn/wenzhang/202306/2876.html

2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。

3.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

4.一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

5.圆内接四边形的对角互补。

上述知识通过下图汇总掌握

1.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

【看图理解】如图，观察∠B、∠P和∠AOC即可得出∠B=∠P=1/2∠AOC。

2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

【看图理解】如图，观察∠B、∠P、∠AOC、弧AC、弦AC、弦心距OS，即可得出上述结论。

备注：圆心角定理的4个结论中，只要知道其中的1个相等，即可推出其它的3个结论。

3.切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线。

【看图理解】如图，观察OC、CT即可得出上述结论。

4.切线性质定理：切线垂直于过切点的半径。

【看图理解】如图，观察TC、CO即可得出上述结论。

5.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

【看图理解】如图，观察TC、TA即可得出上述结论。

6.相交弦定理：圆内两条弦相交交点，分得的两条线段的乘积相等。

【看图理解】如图，观察△PAE和△BCE，由于∠P=∠B，∠PEA=∠BEC，∠PAE=∠BCE，所以△PAE∽△BCE，对应边成比例PE：BE=EA：EC，交叉相乘即可得到PE·EC=BE·EA。

7.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。

【看图理解】如图，观察切线FC和割线FA，以及△FCD和△FAC，易证△FCD∽△FAC，对应边成比例FC：FA=FD：FC，交叉相乘即可得到FC^2=FA·FD。

8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

【看图理解】如图，假设过F点的另一条割线为FA′，那么同理有FC^2=FA′·FD′，又因为FC^2=FA·FD，所以FA′·FD′=FA·FD，即F点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

9.两圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直且平分这两个圆的公共弦。

【看图理解】如图，观察△OAC、弦AC、弦心距OS，易得OS垂直平分AC，假设AC同时也是圆O′的弦，则O′S必然也垂直平分AC，因此OO′垂直平分AC，即两圆圆心的连线垂直且平分这两个圆的公共弦。

10.弦切角定理：顶点在圆上一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

【看图理解】如图，观察切线CT、∠B、∠P和弦切角∠ACT即可得出∠B=∠P=∠ACT，即弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

五、直线与圆的位置关系

1.相交、相切、相离

如果圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

直线l与圆相交，则d<r

直线l与圆相切，则d=r

直线l与圆相离，则d>r

2.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.圆的切线垂直于经过切点的半径。

4.与三角形各边都相切的圆叫做三角的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。

5.内切圆的圆心叫做三角形的内心。

三角形重心、外心、内心、垂心、旁心性质及交于一点证明，可以点击后面链接查看：https://yc8.com.cn/wenzhang/202212/2563.html

6.在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

7.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。

六、圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R, r(R>r)，圆心距为d，则

两圆外离等阶于d>R+r；

两圆外切等阶于d=R+r；

两圆相交等阶于R-r<d<R+r；

两圆内切等阶于d=R-r；

两圆内含等阶于d<R-r；

当d=0时，两圆是同心圆。

七、正多边形与圆

1.各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正n边形的作图。

3.圆内接多边形

圆内接正三角形中的比例关系：边长:R:r=2根号3:2:1;

圆内接正方形中的比例关系：边长:R:r=2根号2:根号2:1;

圆内接六边形中的比例关系：边长:R:r=1:1:根号3 /2。

八、弧长与扇形的面积

1.弧长：弧长l、圆心角度数n，则：l=n/360*2πR=nπR/180

2.扇形面积：S_扇形、圆心角度数n，则：S_扇形=n/360*π_R²

3.根据以上公式可得弧长与扇形面积关系：S扇形=1/2*lR

九、圆锥的侧面积

1.圆锥的母线长l,圆锥的底面圆半径r,则圆锥的侧面积：1/2*2πr*l=πrl