初中数学：圆的知识点

一、圆的定义

（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2）平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

二、圆心、直径、半径、周长、面积、弧、圆心角、圆周角、方程

1.圆心：

（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

2.直径、半径

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线。

3.圆的周长：

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

周长计算公式

（1）已知直径：C=πd

（2）已知半径：C=2πr

（3）已知周长：D=c\π

（4）圆周长的一半:1\2周长(曲线)

（5）半圆的长：1\2周长+直径

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

4.圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr²，用字母S表示。

面积计算公式：

（1）已知半径：S=πr²

（2）已知直径：S=π（d/2）平方

（3）已知周长：S=π(c/2π)平方

5.圆心角、圆周角

顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。在同一个圆内，长度相等的弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

6.圆的方程

圆的方程一般表示为x²+y²+Dx+Ey+F=0，

而在平面直角坐标系中，圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，其中圆心O的坐标为点（a，b），半径为r。

三、点、直线、圆和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径

②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径

③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径

2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3.外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

4.直线和圆的位置关系

相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

5.直线和圆位置关系的性质和判定

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么

①直线l和⊙O相交<=>d<r；

②直线l和⊙O相切<=>d=r；

③直线l和⊙O相离<=>d>r。

四、圆和圆定义

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。

两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。

原理：圆心距和半径的数量关系：

两圆外离<=>d＞R+r两圆外切<=>d=R+r两圆相交<=>R-r<d<R+r(R>＝r)

两圆内切<=>d=R-r(R>r)两圆内含<=>d<R-r(R>r)

五、点到圆的最大、最小距离

定理：圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外点与圆心的连线所在的直线上，

记圆外的点为A，圆上的点为B，圆心为O，记OA=d，圆的半径为r。

则当O,A,B共线时,若B在线段OA之间,则AB取最小值d-r,若O在线段BA之间，则AB取最大值d+r。

六、正多边形和圆

1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2.正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。

3.正多边形的有关概念：

(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。

(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。

(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。

(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

4.正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆。

(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。

七、圆的相关性质、定理

1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1：

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4.圆是定点的距离等于定长的点的集合

5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

7.同圆或等圆的半径相等

8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

9.定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等

10.推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角

12.

①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 dr

13.切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14.切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

17.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

18.圆的外切四边形的两组对边的和相等 外角等于内对角

19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

20.

①两圆外离 dR+r

②两圆外切 d=R+r

③.两圆相交 R-rr)

④.两圆内切 d=R-r(Rr)

⑤两圆内含dr)

21.切线定理：垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
22.切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。
23.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。