初中几何：有关圆的基本知识

一、圆的基本性质

（一）性质 

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心

（二）垂径定理及其推论 

1. 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

2. 推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 

在同圆或者等圆中， 圆的两条平行弦所夹的弧相等

3. 垂径定理与推论的延伸：

（三）弦、弧、圆心角的关系 

1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2. 推论：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量都分别相等。

弧的度数等于它所对圆心角的度数。

（四）圆周角定理及其推论

1. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

2. 推论

同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦是直径。

（五） 圆与多边形 

1. 圆内接多边形

(1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆

(2)圆内接四边形的对角互补,即∠B+∠D= 180°

(3)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即∠DCE= ∠A

2. 正多边形和圆

（六）三角形的外接圆 

定义：经过三角形三个顶点的圆，示意图：

圆心O：外心(三角形外接圆圆心或三角形三条边的垂直平分线的交点)(尺规作图常用)

性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

角度关系:∠BOC=2∠A

二、与圆有关的位置关系
（一）点与圆的位置关系 

（设圆的半径为 ｒ，平面内任 一点到圆心的距离为 ｄ）

点在圆外ｄ＞ｒ，如右图中点 Ａ 

点在圆上ｄ＝ｒ，如右图中点 Ｂ 

点在圆内ｄ＜ｒ，如右图中点 Ｃ

（二）直线与圆的位置关系 

（设圆的半径为ｒ，圆 心到直线的距离为ｄ）

（三） 切线的性质 

数量关系：圆心到切线的距离等于半径 

位置关系：切线垂直于过切点的半径

（四）切线的判定 

直线与圆有公共点，连半径，证垂直

直线与圆无公共点，作垂线，证半径

（五）切线长定理 

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

如图，过⊙Ｏ外一点Ｐ可引两条切线PA、PB，则PA＝PB，PO平分∠APB

（六）三角形的内切圆