高中函数：双绝对值函数最值问题

绝对值求最大、最小值的方法，形如：│x-a│+│x-b│，│x-a│+│x-b│+│x-c│+│x-d│+......，｜x-a｜-｜x-b｜求最值，可以查看后面链接：https://yc8.com.cn/wenzhang/202305/2828.html

除了上面方法，我们下面通过其他方法来求解双绝对值函数最值问题。

那么求双绝对值函数最值问题到底有哪些解决方法？

第一种：利用绝对值不等式求解

||a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|，当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立。

下面我们通过2018年8月浙江20校联考填空题压轴题(第17题)来继续探讨其他解法：

例题1：设函数f(x)=|x² +a|+|x+b|(a,b∈R)，当x ∈[-2,2]时，记f(x)最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值为___.

解法1：利用绝对值三角不等式

由二次函数的性质可知

解法2：以形助数，利用图像处理绝对值函数值域

解法3：利用绝对值的几何意义

点评：以上三种方法应该说是解决绝对值函数问题最基本的手段，三种方法核心之处在于都用了一个重要恒等式 |a|+|b|=max｛|a+b| ,|a-b|｝，其本质是把两个绝对值问题转化为一个绝对值问题进行研究，自然可以从绝对值函数图象与值域，绝对值三角不等式，以及绝对值的几何意义等方面思考，水到聚成。

如前解法，我们习惯于利用降维的思想，将两个绝对值减为一个绝对值，其实两个绝对值之和结构本身也具有良好的几何意义。

解法四：我们知道在线性规划里|x|+|y|=1是一个对角线长度为2的正方形，那么|x|+|y|=k呢？显然可以当成对角线长度为2k的，并随着k 的变化可以缩放的正方形。

解法五：两个绝对值之和除了几何意义可以表示为四边形外，还有什么其他意义呢？其实在现实生活中也有它的背景-----曼哈顿距离

下面让我们利用曼哈顿距离求解

具体曼哈顿距离知识可以查看后面链接：https://yc8.com.cn/wenzhang/202404/4057.html

本解法将目标式子视为“曼哈顿距离”的视角非常精巧，后面两动问题的处理也顺理成章，但分类讨论的能力要求较高。如果只是填空题，不少学生和老师会直接取临界状态，虽然少了解法中的严格说明过程，但也不失为一种巧解。

解法六：分拆函数，V 型函数开路

本解法是用动静分离的手段，将不等关系转化为两个函数图象的位置问题。尤其是两动问题，“一定一动，先定后动，逐步调整”的原则更是重要。