高中数学：向量

一、基本概念

1.向量（定义）：既有大小又有方向的量。

数量与向量的区别:数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

向量的表示方法:

几何表示法:①用有向线段表示:②用字母a、b等表示:③用有向线段的起点与终点字母:AB→（注意：→应在AB上，下同）;

坐标表示法:a→=xi+yj=(x,y)（注意：→应在a上，下同）

2.模：向量的长度或者向量的大小。

向量AB的大小一一记作|AB|

二、向量的分类

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量；

2.共线向量：即平行向量；

3.相反向量：方向相反的非零向量；

4.单位向量：长度等于1个单位长度的向量；

5.零向量：长度为0的向量。（零向量方向是任意的，与任意向量平行；零向量的相反向量仍是零向量） 

6.相同向量：长度相同且方向相同的向量都看作相同的向量（不管起点位置） 向量 a 和向量 b 相同，记作 a = b

7.同向，反向，垂直

向量 a 和向量 b夹角为0度时，两向量同向。

向量 a 和向量 b夹角为180度时，两向量反向。

向量 a 和向量 b夹角为90度时，两向量垂直。a ⊥ b

方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a→//b→ （注意：→应在a、b上，下同）。平行向量也称共线向量。

三、向量的运算

1.向量加法：

向量加法的三角形法则：即几个向量相加，则几个向量首位顺次连接，最终的和向量为第一个向量的头指向最后一个向量的尾。

向量加法的平行四边形法则：若相加的两个向量起点相同时，可以使用该方法，其实质仍为三角形法则。

任一向量与其相反向量的和是零向量；零向量和任一向量a，规定a + 0 = 0 + a。

向量的加法满足交换律和结合律：

a + b = b + a

(a+b) + c = a + (b + c)

2.向量的减法：

通过向量减法的定义和向量加法的三角形法则求解。

3.向量的数乘：

一般的：实数 λ 与向量a的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下：

(1)|λa| = |λ||a|

(2)若 a ≠ 0 时，则 当λ＞0，λa与原向量同向；当λ＜0，λa与原向量反向。

特别地，当 λ = 0 ，0a = 0；当 a = 0 ,λ0 = 0

实数λ 与向量 a 相乘的运算。其中：

当λ=0，则 λa 为零向量；

当λ＞0，则 λa 与原向量同向；

当λ＜0，则 λa 与原向量反向；

（即实数λ的大小代表了将原向量的大小缩小或扩大的倍数；λ的符号代表了是否改变原向量的方向。）

向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算。

向量共线定理：

一般地,对于两个向量a(a≠0),b,有如下的向量共线定理:

设a为非零向量,如果有一个实数 λ，使 b = λa,那么b 与 a 是共线向量;反之,如果b与a 是共线向量,那么有且只有一个实数λ，使b=λa

4.向量的数量积（向量的点乘,也叫向量的内积）

可以借用物理学中的矢量相乘进行理解，将一个矢量分解到另一个矢量的方向上再相乘。

有向量的数量积可以得到两个向量的夹角，即：

投影向量：

向量的数量积满足的运算律：

(1)a·b=b.a

(2) (λa)·b=a·(λb) =λ(a·b) =λa.b

(3)(a +b)·c =a·c+b.c

向量的向量积可以点击后面链接查看：https://yc8.com.cn/wenzhang/202404/4190.html

四、向量基本定理及坐标的表示

平面向量基本定理：

如果e₁,e₂是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ₁，λ₂,使 a= λ₁e₁+λ₂e₂

把不共线的向量e₁，e₂叫做这平面的基底。λ₁e₁+λ₂e₂ 为向量 a 的分解。

当e₁，e₂所在直线互相垂直时，这种分解称为向量 a 的正分解式。

五、向量坐标表示与运算

结合平面直角坐标系内，任意一点P均可以用一对有序实数对进行表示，如P(x,y)。以此类推，我们将点P唯一对应着以原点O为起点、P为终点的向量，也用一对有序实数对进行表示。

（一）向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a=xi+yj。

我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a=(x,y)。

a =xi +yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标;反过来,点A的坐标(x，y)就是向量OA的坐标。

可以理解为：向量虽有方向和大小，但是它仅仅是用来研究问题的一种手段，跟其所处的具体位置无关。在使用实数对表示向量时，实数使用一组单位正交基表示向量，两个实数分别表示正交基的倍数。如同之前所学习的坐标一样，可以自行画出这个坐标即可很好理解。

（二）向量坐标运算：

1.向量的线性运算

设a = (x₁,y₁)，b = (x₂,y₂)，那么：

a + b = (x₁+x₂,y₁+y₂)

a - b = (x₁-x₂,y₁-y₂)

λa = (λx₁,λx₂)

也就是：

（1）向量加法：对应实数对相加（或者说对应坐标相加）；

（2）向量减法：对应坐标相减；

（2）向量数乘：对用坐标的数乘；

一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。

2.向量的数量积

设a = (x₁,y₁)，b = (x₂,y₂)，那么：

a . b = x₁.x₂ + y₁.y₂

两个向量的数量积：对应坐标的乘积的和；

两向量的夹角：

两向量垂直：

设a = (x₁,y₁)，b = (x₂,y₂)，那么：

a ⊥ b = x₁.x₂ + y₁.y_{2 = 0}

两向量平行：

设a = (x₁,y₁)，b = (x₂,y₂)，那么：

a // b = x₁.y₂ - x₂.y_{1 = 0}