梅涅劳斯定理与塞瓦定理

三角形中的比例线段还有两个著名的定理--梅涅劳斯定理与塞瓦定理，梅涅劳斯是公元2世纪希腊数学家，塞瓦是18世纪意大利数学家，这两个定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在证明比例线段或三点共线的问题上。‌

一、梅涅劳斯定理

‌梅涅劳斯定理‌是由希腊数学家梅涅劳斯提出的，它揭示了在三角形中的一条线段与三角形的三边所构成的六个线段之间的比例关系。这个定理表明，如果一条直线与三角形三边或其延长线相交，那么这条直线所截得的三角形的三边与其对应顶点上的两边所截得的线段之比，等于另外两边的两个对应线段之比。梅涅劳斯的证明方法包括通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质进行证明。这个定理在证明比例线段或三点共线的问题上非常有用，是解决几何问题的重要工具。

梅涅劳斯定理，又称梅氏定理，是几何学中的一个重要定理，它揭示了在三角形中的一条线段与三角形的三边所构成的六个线段之间的比例关系。

梅涅劳斯定理：若一条直线与三角形三边或其延长线相交，那么这条直线所截得的三角形的三边与其对应顶点上的两边所截得的线段之比，等于另外两边的两个对应线段之比。

记忆口诀：顶点到交点，交点回顶点。

二、塞瓦定理

‌塞瓦定理‌则是由意大利数学家塞瓦在18世纪提出的，它描述了三角形内三个点与其对应的三角形三边所形成的六个线段的比例关系。塞瓦定理的表述是，如果三条线段分别连接三角形的一个顶点与其对边上的两个点，那么这三个点与三角形三个顶点所构成的三个线段之比，满足一定的乘积关系。塞瓦定理的证明方法包括通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质进行证明。这个定理在证明三点共线、三线共点时常用，是解决几何问题的另一个重要工具。

这两个定理的逆命题也成立，为证明三点共线、三线共点提供了便利。它们在解决几何问题时，常常需要添加辅助线来构造相似三角形，利用相似三角形的性质进行推导和证明。梅涅劳斯定理和塞瓦定理的应用不仅限于理论证明，它们在实际问题和竞赛数学中也有着广泛的应用，是提高解题能力的重要工具‌。

塞瓦定理，它描述了三角形内三个点与其对应的三角形三边所形成的六个线段的比例关系。

塞瓦定理的表述是：若三条线段分别连接三角形的一个顶点与其对边上的两个点，那么这三个点与三角形三个顶点所构成的三个线段之比，满足一定的乘积关系。

塞瓦定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为一。

三、梅涅劳斯定理与塞瓦定理表述

梅涅劳斯定理

记忆口诀：顶点到交点，交点回顶点。

塞瓦定理

塞瓦定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为一。

四、梅涅劳斯定理与塞瓦定理证明

（一）梅涅劳斯定理

当一条直线交三边所在的直线分别于点时，则有

证明如下：

证明一

过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G, 则

证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则

两式相乘得

证明三

连接CF，AD

根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比” 的性质有,

…………（1），

…………（2），

…………（3）

（1）×（2）×（3）得,

××=××=1

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图:

（二）梅涅劳斯定理之逆定理

梅涅劳斯逆定理是若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

证明：

已知：E、F是△ABC的边AC、AB上的点，D是BC的延长线的点，且。

求证：E、F、D三点共线。

梅涅劳斯逆定理

证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。

由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得。

∴ ；

∴  ；

∴ ；

∴ PB=FB；即P与F重合。

∴ D、E、F三点共线。

（三）塞瓦定理

（1）可利用梅涅劳斯定理(梅氏定理)证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

 ①

∵△ABD被直线COF所截，

 ②

②/①约分得：

（2）也可以利用面积关系证明（燕尾定理）

③

同理 

 ④ ，

⑤

③×④×⑤得

（四）塞瓦定理之逆定理

塞瓦定理逆定理表述为：在△‌ABC的三边AB、‌BC、‌CA上分别取点‌D、‌E、‌F，若BD/DC × ‌CE/‌EA × ‌AF/FB = 1，则AD、BE、CF三线共点或平行。

证明过程如下：

设AE与BF交于点P，连接CP交AB于点D'。

根据塞瓦定理，有(BD/D'B) × (CE/EA) × (AF'/F'B) = 1。

由于BD/DC × CE/EA × AF/FB = 1，且BD/DC = BD/D'B，可以推出AF/FB = AF'/F'B。

由于点D和D'在AB上，因此D和D'重合，即AD、BE、CF三线共点。

五、梅涅劳斯定理与塞瓦定理应用

1.使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法。

2.塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法。

塞瓦定理逆定理在证明三角形三条高线交于一点时非常有用。比如：三角形三条高线必交于一点；三条中线交于一点（重心）。