一些有趣的定理：皮克定理（求格点多边形的面积）
一些有趣的定理：皮克定理（求格点多边形的面积）
一、皮克定理定义
1899年，犹太数学家皮克（Georg Alexander Pick）发现了一个被誉为“有史以来最重要的100个数学定理之一”的“皮克定理”（Pick's Theorem）。
这个定理是这样说的：给定顶点座标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，其面积𝑨和内部格点数目𝑰、边界格点数目𝑩的关系为𝑨=𝑰+𝑩÷𝟐−𝟏。
二、什么是格点多边形
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
皮克定理是指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，该公式可以表示为S=a+b÷2－1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形落在格点边界上的点数，S表示多边形的面积。
需要注意的：
格点多边形的面积只与内点和边界点的数量有关，和多边形具体的形状无关；
格点多边形的面积是0.5的整数倍。
三、应用
1899年，奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克给出了格点多边形的计算公式：
其中的i是多边形内的点数，j是多边形边界上的点数。
如上图中的多边形的面积，用皮克定理计算为：
四、特别要注意不适用的类型
1、非格点多边形，即多边形某个顶点不在格点上，如下图
2、有“洞”的图形，即图形内部被挖去了一部分的，如下图，这个面积用两次皮克定理才可求出。
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