蝴蝶定理
蝴蝶定理
数学中的蝴蝶定理是一个极富魅力的几何定理，它的名称源于其形状如同一只蝴蝶。这个定理在平面几何中有着广泛的应用。
一、蝴蝶定理
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
其通用形式（坎迪定理）如下：
二、蝴蝶定理证明过程
取AD、BC的中点E、F，连接OE、OF、OX、OM、OY
由垂径定理，OE⊥AD，OF⊥BC，OM⊥PQ
∵ △ADM∽△CBM
∴ AD:DB=MD:MB
∴ DE:BF=MD:MB
又∠EDM=∠FBM
∴ △EDM∽△FBM
∴ ∠AEM=∠CFM
又OE⊥AD，OM⊥PQ
∴ O、E、X、M四点共圆
∴ ∠MOX=∠AEM
同理，O、F、Y、M四点共圆
∴ ∠MOY=∠CFM
∴ ∠MOX=∠MOY
又OM⊥PQ
∴ MX=MY
三、蝴蝶定理推广
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：
1.蝴蝶定理的圆外形式
如下图，延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M，过点M做OM垂线，垂线与CB和AD的延长线交于E、F，则可得出ME=MF
2.在圆锥曲线中
将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AC与BD分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。
3.坎迪定理
坎迪定理推广
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