托勒密定理以及西姆松定理

一、托勒密定理

托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。

如下图所示，ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

托勒密定理推广：

托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

托勒密定理推论：

1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

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二、西姆松定理

西姆森定理（Simson theorem），亦译为西姆松定理，是关于平面几何中的点共线的两个定理。

表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线，此线常称为西姆松线或译西摩松线（Simson line）。

西姆森定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

西姆森定理定理内容

有三角形ABC，平面上有一点P 。

P在三角形三边上的投影（即由P 到边上的垂足）LNM共线（此线称为西姆松线或译西摩松线, Simson line），当且仅当 P在三角形的外接圆上。

西姆森定理定理证明：

如图1，从△ABC的外接圆上任意一点P（异于顶点A、B、C）向三边BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F。证明：D、E、F三点共线。

证明方法一：

连接DF、DE、PB、PC（图2），

易证F、B、P、D和D、P、E、C四点共圆，则

∠FDB=∠FPB，∠CDE=∠CPE。

在Rt△BFP和Rt△CEP中，

∠ABP=∠PCE（圆内接四边形的外角等于其内对角）

故∠CPE=∠FPB（等角的余角相等），则∠CDE=∠FDB。

因∠BDE+∠CDE=180°，则∠BDE+∠FDB =180°，

故F、D、E三点共线成立。

或∠FDP+∠FBP=∠FDP+∠PCE

=∠FDP+∠PDE

=180°，这样F、D、E三点共线亦成立。

证明方法二：

利用梅涅劳斯定理的逆定理，连接DE、DF、PB、PA、PC（图3），根据同弧对等角、圆内接四边形的外角性质，易证下列3组相似三角形及对应线段比例关系：

Rt△PEC∽Rt△PFB，EC/FB=PC/PB…………①;

Rt△AFP∽Rt△CDP，AF/DC=AP/PC…………②;

Rt△BDP∽Rt△AEP，BD/EA=PB/AP…………③。

假设△ABC被“线段”FDE所截，将①、②、③式代入梅涅劳斯定理线段比例表达式：

AF/FB·BD/DC·EC/EA

=EC/FB·AF/DC·BD/EA

= PC/PB·AP/PC·PB/AP

=1，

根据梅涅劳斯定理的逆定理，F、D、E三点共线成立。

西姆森定理逆定理

如果一点在三角形三边所在直线上的射影共线，那么该点位于三角形的外接圆上。这个定理与西姆森定理紧密相关，西姆森定理则指出，过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线，这条共线的线段被称为西姆松线或西摩松线。这两个定理共同构成了平面几何中的点共线定理，它们在几何证明和应用中扮演着重要的角色。

证明：

如图4，D为△ABC外一点，过D作△ABC三边（及其延长线）的垂线分别交AB、BC、AC延长线于E、F、G三点，且该三点共线。求证：点D在△ABC的外接圆上。

解题思路：本题的实质是证明A、B、D、C四点共圆，如果能证明∠DCG=∠ABD，或∠A+∠BDC=180°，则此题可解。

连接DC、DB（图5），易证F、E、B、D和F、D、G、C四点共圆，则∠DCG=∠DFG =∠EBD，即∠DCG=∠ABD成立，A、B、D、C四点共圆得证。

或因∠A+∠ABC+∠ACB

=∠A+∠EDF+∠FDG

=∠A+∠EDG

=180°。

易证∠CDG=∠BDE=ε，

故∠A+∠EDG

=∠A+∠BDC

=180°，则A、B、D、C四点共圆成立，点D在△ABC的外接圆上得证。