圆幂与根轴

一、圆幂

（一）初中阶段的圆幂定理

圆幂定理是‌平面几何中的一个定理，它统一了‌相交弦定理、‌割线定理和‌切割线定理‌。如果两条相交直线与圆相交于A、B和C、D，那么PA·PB=PC·PD。‌

圆幂定理的证明可以通过相交弦定理、割线定理和切割线定理的统一形式来证明。具体证明过程涉及相似三角形的应用和‌圆周角定理的应用。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。

（二）对圆的幂

我们先定义点对圆的幂

设Γ是平面上一个圆心为O，半径为r的圆，对平面上任意一点P，记 ρ(P)=OP²−r²为点P对于圆Γ的幂

定义：P点对圆O的幂定义为OP²-R²

性质：

‌圆周的幂的性质‌包括：

当点P在圆外时，点P对圆O的幂为正数。

当点P在圆上时，点P对圆O的幂为零。

当点P在圆内时，点P对圆O的幂为负数。

（三）圆幂定理推论

‌圆幂定理的推论‌包括：

‌圆外一点‌对于这个圆的幂等于过这点所引这个圆的切线长的平方。

‌圆内一点‌对于这个圆的幂等于过这点所引最小弦一半的平方，并冠以“-”号。

‌圆周上一点‌对于这个圆的幂等于0。

注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。

而且也有一个很显然的结论： ρ(P)= ρ(Q)  ⇔  OP  = OQ 

圆幂定理

二、根轴

（一）定义

到两圆幂相等的点的集合为一条垂直于两圆圆心连线的直线，称为两圆的根轴。

且:若两圆相交则根轴为公共弦所在直线。

若两圆相切则根轴为公切线。

同心圆无根轴。

（二）性质

性质1：若两圆相交,其根轴就是公共弦所在直线。

由于两圆交点对于两圆的幂都是0,所以它们位于根轴上,而根轴是直线,所以根轴是两交点的连线。

性质2：若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线(即性质1的极限情况)。

性质3：若三圆两两不同心,则其两两的根轴交于一点,或互相平行。所交的这点称为根心。

若三圆心共线,则两两圆的根轴均垂直于连心线,因此此时两两的根轴互相平行

若三圆心不共线,则必成一三角形,因此两两的根轴必垂直于两两的连心线。