调和点列

一.调和点列的定义

设C、D两点分别内分和外分线段AB成同一比例，即满足CA/CB=DA/DB，则称C、D调和分割线段AB，或称C是点D关于AB的调和共轭点，亦称A,B、C,D（注意标点符号）成调和点列。

若从直线AB外一点P引射线PA、PB、PC、PD，则称线束PA、PB、PC、PD为调和线束。

二.调和点列的性质

如图，A、B、C、D是共线的四点，M为线段AB的中点，则C、D调和分割线段AB的充要条件是满足下面六个条件之一。

C、D调和分割线段AB

（1）A、B调和分割线段CD

（2）2/AB=1/AC+1/AD

证明如下：

（3）AB.CD=2AC.BD=2AD.BC

证明如下：

（4）CA.CB=CM.CD

（5）DA.DB=DM.DC

（6） MA²=MB²=MC.MD

（7）对线段 AB 的内分点 C 和外分点 D 以及直线 AB 外一点 P ，下面四个结论中，已知其中两个则可推出另外两个：

1.点 C,D 调和分割线段 AB。

2.PC⊥PD。

3.PC是∠APB的内角平分线。

4.PD是∠APB的外角平分线。

（8）设过 0 的线束 OA,OB,OC,OD 分别交不过O的两条直线l₁与l₂与A,B,C,D,A',B',C',D'.则

(A,B,C,D)是调和点列 ↔(A'',B',C",D')是调和点列

此时称 0A,OB,OC,OD 为调和线束。