解三角形

一、正弦定理

1.常用形式：

a/sinA=b/sinB=C/sinC=2R。

2.变形形式：

sinA/sinB=a/b

sinB/sinC=b/c

sinC/sinA=c/a

a:b:c=sinA:sinB:sinC

a:b:c=sinA:sinB:sinC

(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=a/sinA=b/sinB=C/sinC=2R

asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB

二、余弦定理

1.常用形式：

b²+c²-a²=2bccosA

a²+c²-b²=2accosB

a²+b²-c²=2abcosC

2.变形形式：

cosA=(b²+c²-a²)/2bc

cosB=(a²+c²-b²)/2ac

cosC=(a²+b²-c²)/2ab

核心问题:什么情况下角化边?什么情况下边化角?

(1)当每一项都有边且次数一样时，采用边化角。

(2)当每一项都有角 sin 且次数一样时，采用角化边。

(3)当每一项都是边时，直接采用边处理问题。

(4)当每一项都有角 sin 及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可。

三、三角形的多解问题

在△ABC 中，已知a，b和A时，解的情况主要有以下几类:

①若A为锐角时

a<bsinA 无解

a=bsinA 一解(直角)

bsin A<a<b 二解(一锐，一钝)

a≥b 一解(锐角)

②若A为直角或钝角时

a>b 一解(锐角)

a≤b 无解

四、判断三角形形状

1.特殊三角形的判定:

(1)直角三角形

勾股定理:a²+b²=c²,

互余关系:A+B=90°，cosC=0，sinC=1;

(2)等腰三角形

a=b，A=B;

2.用余弦定理判定三角形的形状(最大角A的余弦值的符号)

在△ABC中，

当0°<∠A<90° <=> cosA=(b²+c²-a²)/2bc>0 <=> b²+c²>a²；

当∠A=90° <=> cosA=(b²+c²-a²)/2bc=0 <=>b²+c²=a²；

当90°<∠A <=> cosA=(b²+c²-a²)/2bc<0 <=> b²+c²<a² 。

五、三角形面积定值问题

三角形面积公式

①S△ABC=1/2.absinC,

S△ABC=1/2.acsinB,

S△ABC =1/2.bcsinA

②S△ABC=1/2.r.(a+b+c)=1/2.rl (其中r，l分别为△ABC内切圆半径及△ABC的周长)

推导：将△ABC 分为三个分别以△ABC的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形它利用等面积法即可得到上述公式。

六、三角形面积最值问题

正规方法:面积公式+基本不等式

七、三角形周长定值问题

类型一：已知一角与两边乘积模型

第一步：求两边乘积；

第二步：利用余弦定理求出两边之和。

类型二：已知一角与三角等量模型

第一步：求三角各自的大小；

第二步：利用正弦定理求出三边的长度。

高端结论: