初中数学：四点共圆

一、定义

若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

二、四点共圆性质

四点共圆有三个性质：

1.共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

2.圆内接四边形的对角互补；

3.圆内接四边形的外角等于内对角。

圆内接四边形的性质定理：    圆内接四边形的对角互补。

推论：    圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。

四点共圆判定定理：    如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：    如果四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

三、四点共圆如何判断

1.若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。如图，平面内有四个点A、B、C、D，若存在一点O，使得OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以点O为圆心、OA长为半径的圆上。

2.若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。

圆的内接四边形的性质之一，圆的内接四边形对角互补，反之也成立。如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°，则A、B、C、D四点在一个圆上.

这两种方法是用来判断“四点共圆”用得较多的方法。

3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。

这也是圆的内接四边形的性质之一，可以借助圆的内接四边形对角互补进行证明。如图，在四边形ABCD中，若∠BAE为其外角，且∠BAE=∠C，则A、B、C、D四点在一个圆上.

4.若两个点在一条线段的同侧，并且和这条线段的两端的连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。

利用的为同弧所对的圆周角相等，如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，BD，若∠BAC=∠BDC，则A、B、C、D四点在一个圆上.

5.若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PC=PB×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。

6.若AB、CD两线段延长后相交于P。且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。

7.若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理)。

如上图：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则AC·BD=AB·CD+AD·BC。